Радианная мера угла
Угол в один радиан равен центральному углу, опирающемуся на дугу, длина которой равна радиусу окружности.
1 радиан ≈ 57°17'45", 10= π/180 радиан, π радиан = 180°, π/2 радиан = 90°.
Углы между хордами, касательными и секущими
| Угол между пересекающимися хордами: γ = (β + α)/2 |
| Угол между секущими, пересекающимися вне окружности: γ = (β – α)/2 |
| Угол между касательной и секущей: γ = (β – α)/2 |
| Угол между касательными: γ = (β – α)/2 = π - α |
| Угол между касательной и хордой: γ = α/2 |
Свойства хорд
| Если хорды равноудалены от центра окружности, то они равны. Если хорды равны, то они равноудалены от центра окружности. |
| Большая из двух хорд находится ближе к центру окружности. |
| Наибольшая хорда является диаметром. Если диаметр делит хорду пополам, то он перпендикулярен ей. Если диаметр перпендикулярен хорде, то он делит ее пополам |
| Длина хорды: L = 2Rsin(α/2) = 2Rsinβ |
Соотношения между длинами хорд, отрезков касательных и секущих
| Отрезки пересекающихся хорд связаны соотношением: ab = cd | ||
| Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны: АВ = АС | ||
| Квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, проведенной из той же точки: АВ2 = AC · AD | ||
| Произведения отрезков секущих, проведенных из одной точки, равны: AB · AC = AD · AE | ||
Свойства дуг и хорд
| |
| Равные дуги стягиваются равными хордами | Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны |
Длина дуги и окружности
| |
| Длина дуги: l = αr (угол α в радианах). | Длина окружности: L = 2πr |
Площадь круга и его частей
| Площадь круга: S = πr2 |
| Площадь сектора: S = 0.5 α r2 (угол α в радианах) |
| Площадь сегмента: S = 0.5 (α - sinα)r2 |
Взаимное расположение двух окружностей. Общие касательные.
| Одна окружность лежит внутри другой — общих касательных нет. Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов: O1O2 < R1 - R2 |
| Одна окружность касается другой изнутри — окружности имеют одну общую точку М, лежащую на прямой O1O2. Одна общая касательная а проходит через эту точку и перпендикулярна прямой O1O2. Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов: O1O2 = R1 - R2 |
| Окружности пересекаются — имеют две общих точки М и N. Есть две общих касательных а и Ь. Если радиусы окружностей равны, то касательные параллельны, а если радиусы не равны, то касательные пересекаются в точке, лежащей на прямой O1O2. Общая хорда MN перпендикулярна прямой O1O2 и делится ею пополам: MN ⊥O1O2; МК = KN. Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы: R1 - R2< O1O2< R1 + R2. |
|
| Одна окружность касается другой снаружи — окружности имеют одну общую точку М, лежащую на прямой O1O2. Есть три общих касательных. Одна из них (а) проходит через точку касания окружностей и перпендикулярна прямойO1O2. Если радиусы окружностей равны, то две другие общие касательные (b и с) параллельны, а если радиусы не равны, то эти общие касательные пересекаются в точке, лежащей на прямой O1O2. Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов: O1O2 = R1+ R2 |
| Одна окружность лежит вне другой. Есть четыре общих касательных: две из них (а и b) называются внутренними и всегда пересекаются в точке, лежащей на отрезке O1O2. Две другие общие касательные (c и d) называются внешними. Если радиусы окружностей равны, то внешние касательные параллельны, а если радиусы не равны, то внешние касательные пересекаются в точке, лежащей на прямой O1O2. Расстояние между центрами окружностей больше суммы и радиусов: O1O2 > R1+ R2 |
Уравнение окружности
Центр окружности – это геометрическое место точек в плоскости равностоящих от точки плоскости С(а,b).