Проверка гипотез относительно параметров множественной линейной регрессии.
(1) Гипотеза о статистической незначимости коэффициентов уравнения регрессии.
Нулевая гипотеза 
формулируется в предположении о том, что теоретический коэффициент регрессионной модели 
является статистически незначимым, альтернативная гипотеза 
– коэффициент модели 
является статистически значимым:
Статистическая значимость параметров линейной регрессии с m факторами проверяется на основе t – статистики (статистика Стьюдента):
, где
– коэффициент уравнения регрессии;
– стандартная ошибка коэффициента уравнения регрессии;
– наблюдаемое значение t- статистики гипотезы;
– значение критической точки распределения Стьюдента при уровне значимости 
и значении степеней свободы 
.
При проверке гипотезы о статистической незначимости коэффициента регрессии , полученной значение наблюдаемой статистики сравнивается со значением критической точки 
распределения Стьюдента. Если 
, то нулевая гипотеза принимается и соответствующий параметр считается статистически незначимым, в противном случае, если 
– нулевая гипотеза отклоняется в пользу альтернативной и параметр модели статистически значим.
· Если 
, т.е. 
, то коэффициент можно считать статистически незначимым. Доверительная вероятность при двусторонней альтернативной гипотезе не будет превышать в таком случае 
;
· Если 
, т.е. 
, то коэффициент можно считать относительно (слабо) значимым. В данном случае рекомендуется воспользоваться таблицей критических точек распределения Стьюдента, коэффициент bi может оказаться статистически значимым при уровне 
: доверительная вероятность 
;
· Если 
, то коэффициент статистически значим. Это утверждение является гарантированным при условии 
и для 
: доверительная вероятность 
;
· Если 
, то коэффициент считается сильно статистически значимым (при 
. Вероятность ошибки в данном случае, при достаточном числе наблюдений, не превосходит 0,001.
(1.5)
Очевидно, что стандартизированные коэффициенты регрессии 
связаны с понятием эластичности фактора 
по фактору 
в средней точке:
, 
,
(2) Гипотеза о равенстве коэффициента уравнения регрессии некоторому заданному числу.
,
значение которой, в случае двусторонней альтернативной гипотезы сравнивается со значением критической точки 
, в случае односторонней гипотезы – с 
и 
соответственно.
(3) Гипотеза о линейном ограничении или линейной комбинации коэффициентов.
, где 
находится с помощью свойств дисперсии и ковариации.
,
Нулевая гипотеза принимается, если 
.
Проверка гипотез об общем статистическом качестве модели множественной линейной регрессии.
(1) Гипотеза о статистической незначимости коэффициента детерминации 
.
,
где 
– значение критической точки распределения Фишера при уровне значимости 
и значениях степеней свободы 
, 
.
(2) Гипотеза о равенстве двух коэффициентов детерминации вложенных моделей.
Пусть для выборке из n наблюдений получено уравнение регрессии вида
, (А)
и коэффициент детерминации для этой модели равен 
. Исключим из рассмотрения k экзогенных переменных, предположив, не нарушая общности, что это переменные при последних k коэффициентах. Другими словами, наложим на коэффициенты модели (А) следующее ограничение: 
и получим уравнение регрессии (В) с коэффициентом детерминации, равным 
:
, (В)
Очевидно, 
, т.к. каждая экзогенная переменная объясняет хотя бы незначительную часть рассеивания зависимой переменной.
Нулевая гипотеза формулируется в предположении о том, что коэффициенты детерминации вложенных моделей совпадают, в таком случае исключение 
экзогенных переменных было обосновано и для дальнейшего анализа используется модель с ограничениями (В); отклонение нулевой гипотезы в пользу альтернативной гипотезы свидетельствует о некорректности и нецелесообразности исключения экзогенных переменных из модели.
Здесь 
– оценка потери качества уравнения в результате отбрасывания k экзогенных переменных; k – число исключенных экзогенных переменных (степеней свободы); 
– необъясненная дисперсия модели без ограничений (А). Приведенная статистика, таким образом, имеет распределение Фишера с числом степеней свободы 
и 
.
В случае принятия нулевой гипотезы, т.е. когда F набл< F кр, это означает, что разность незначительна и можно сделать вывод о целесообразности одновременного отбрасывания k факторов, поскольку это не привело к существенному ухудшению общего качества уравнения регрессии.
Если F набл> F кр и нулевая гипотеза должна быть отклонена, то в этом случае одновременное исключение из рассмотрения k объясняющих переменных некорректно, т.к. существенно превышает . Это означает, что общее качество первоначального уравнения регрессии существенно лучше качества уравнения регрессии с отброшенными переменными, т.к. первоначальное уравнение объясняет гораздо большую долю разброса зависимой переменной.
Аналогичные рассуждения можно использовать и для проверки обоснованности включения новых k факторов. В этом случае моделью с ограничениями является исходная модель регрессии, до того, как в нее были включены новые экзогенные переменные, а выводы делаются относительно целесообразности включения новых факторов.
(3) Гипотеза об однородности рассматриваемой выборки, т.е. отсутствии «точек разрыва» или структурной устойчивости.
В случае принятия нулевой гипотезы, т.е. когда F набл< F кр, в исходной выборке отсутствует «точка разрыва», выборка однородна и рассмотрение подвыборок нецелесообразно. Если F набл> F кр и нулевая гипотеза должна быть отклонена, то в этом случае нежелательно рассматривать регрессию по всей выборке и следует разбить совокупность.