Лекция 4
Теорема 1 (формула полной вероятности). Пусть события 
образуют полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами. Тогда вероятность любого события 
того же поля событий равна:
(1.17)
Доказательство. Так как события образуют полную группу событий, то событие можно представить в виде: 
(это означает, что событие может произойти А только вместе с одним из событий 
). Так как события несовместны то:
Пример 1. Детали поступают на конвейер с трех станков. Первый станок производит 25% всех деталей, второй 35% и третий 40% деталей. Первый станок выпускает 1% бракованных деталей, второй 3%, третий 5%. Определить вероятность того, что случайно выбранная с конвейера деталь окажется бракованной.
Решение. Введем обозначения событий: - деталь окажется бракованной; события 
- деталь изготовлена соответственно первым, вторым или третьим производителем. По условию задачи:
, 
, 
;
, 
, 
.
По формуле полной вероятности находим:
Теорема 2 (формула Байеса ).Пусть событие 
, которое могло произойти вместе с одним из событий , образующих полную группу несовместных событий, наступило. Тогда условная вероятность того, что осуществилась гипотеза 
равна:
(1.18)
Поскольку данная формула позволяет вычислить апостериорные вероятности по априорным, то ее также называют формулой переоценки гипотез.
Доказательство. По определению условной вероятности:
.
Пример 3. В условиях примера 1 определить вероятность того, что взятая деталь была изготовлена на первом станке, если она оказалась бракованной.
Решение. Требуется переоценить вероятность гипотезы 
. По формуле Байеса имеем:
.
Вероятность стала меньше, поскольку если деталь оказалась бракованной, то более вероятно, что она произведена вторым, либо третьим станком.
|
|
Пример 4. В корзине находится один шар - с равной вероятностью белый или черный. В корзину опускается белый шар, и после перемешивания извлекается один шар. Он оказался белым. Какова вероятность, что в корзине остался белый шар.
Решение. Пусть гипотеза 
- в корзине исходно находится белый шар, гипотеза 
- в корзине находится черный шар. Так как с равной вероятностью в корзине может находиться как белый, так и черный шар, то: 
. После того, как в корзину был опущен белый шар, вероятность вынуть белый шар (событие ) в предположении гипотезы есть: 
. Аналогично, вероятность вынуть белый шар в предположении гипотезы : 
. Следовательно по формуле полной вероятности:
.
Тогда вероятность, что в корзине остался белый шар (то есть верна гипотеза ):
.
Пример 5. Два стрелка стреляют по мишени, делая по одному выстрелу. Вероятность попадания для первого стрелка 0,8, для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена только одна пробоина. Найти вероятность того, что попал первый стрелок.
Решение. Некоторая сложность в данной задаче состоит в том, что мы уже решали аналогичную прямую задачу, не привлекая при этом формулу полной вероятности.
Введем обозначения: 
- попал в цель только один стрелок, первый стрелок попал в цель, 
-второй стрелок попал в цель. Тогда: 
. То есть, можно считать, что событие может наступить в результате осуществления двух гипотез: 
- попал в цель только первый стрелок, 
- попал в цель только второй стрелок. Имеем: 
, 
, 
, 
.
. 
.