Планетные конфигурации
Планеты Солнечной системы обращаются вокруг Солнца по эллиптическим орбитам (см. законы Кеплера) и делятся на две группы. Планеты, которые расположены ближе к Солнцу, чем Земля, называются нижними. Это Меркурий и Венера. Планеты, которые расположены дальше от Солнца, чем Земля, называются верхними. Это Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун и Плутон.
Планеты в процессе обращения вокруг Солнца могут располагаться относительно Земли и Солнца произвольным образом. Такое взаимное расположение Земли, Солнца и планеты называется конфигурацией. Некоторые из конфигураций являются выделенными и носят специальные названия (см. рис. 19).
|
| Рис. 19. Конфигурации планет. 1 - орбита верхней планеты, 2 - орбита Земли (З.), 3 - орбита нижней планеты. Конфигурации нижней планеты: в.с. - верхнее соединение, н.с. - нижнее соединение, В.э. - наибольшая восточная элонгация, З.э. - наибольшая западная элонгация. |
Нижняя планета может располагаться на одной линии с Солнцем и Землей: либо между Землей и Солнцем - нижнее соединение, либо за Солнцем - верхнее соединение. В момент нижнего соединения может произойти прохождение планеты по диску Солнца (планета проецируется на диск Солнца). Но из-за того, что орбиты планет не лежат в одной плоскости, такие прохождения случаются не каждое нижнее соединение, а достаточно редко. Конфигурации, при которых планета при наблюдении с Земли находится на максимальном угловом удалении от Солнца (это наиболее благоприятные периоды для наблюдения нижних планет), называются наибольшими элонгациями, западной и восточной.
Верхняя планета также может находиться на одной линии с Землей и Солнцем: за Солнцем - соединение, и по другую сторону от Солнца - противостояние. Противостояние - это самое благоприятное время для наблюдения верхней планеты. Конфигурации, при которых угол между направлениями с Земли на планету и на Солнце равен 90 o, называются квадратурами, западной и восточной.
Промежуток времени между двумя последовательными одноименными конфигурациями планеты называется ее синодическим периодом обращения P, в отличие от истинного периода ее обращения относительно звезд, называемого поэтому сидерическим S. Разница между этими двумя периодами возникает из-за того, что Земля тоже обращается вокруг Солнца с периодом T. Синодический и сидерический периоды связаны между собой:
| (26) |
для нижней планеты, и
| (27) |
для верхней.
Законы Кеплера
Законы, по которым планеты обращаются вокруг Солнца, были эмпирически (т.е. из наблюдений) установлены Кеплером, а затем теоретически обоснованы на основе закона всемирного тяготения Ньютона.
Первый закон. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
Второй закон. При движении планеты ее радиус-вектор описывает равные площади за равные промежутки времени.
Третий закон. Квадраты сидерических времен обращений планет относятся друг к другу как кубы больших полуосей их орбит (как кубы их средних расстояний от Солнца):
| (28) |
Третий закон Кеплера является приближенным, из закона всемирного тяготения был получен уточненный третий закон Кеплера:
| (29) |
Третий закон Кеплера выполняется с хорошей точностью только потому, что массы планет много меньше массы Солнца 
.
Эллипс - это геометрическая фигура (см. рис. 20), у которой есть две главные точки - фокусы F 1, F 2, и сумма расстояний от любой точки эллипса до каждого из фокусов есть величина постоянная, равная большой оси эллипса. У эллипса есть центр O, расстояние от которого до наиболее удаленной точки эллипса называется большой полуосью a, а расстояние от центра до самой ближайшей точки называется малой полуосью b. Величина, которая характеризует сплюснутость эллипса, называется эксцентриситетом e:
| (30) |
|
| Рис. 20. Орбита планеты - эллипс |
Окружность является частным случаем эллипса (e =0).
Расстояние от планеты до Солнца изменяется от наименьшего, равного
| rmin = a (1- e) | (31) |
(эта точка орбиты называется перигелием) до наибольшего, равного
| rmax = a (1+ e) | (32) |
(эта точка орбиты называется афелием).
Движение искусственных небесных тел
Движение искусственных небесных тел подчиняется тем же законам, что и естественных. Тем не менее, необходимо отметить ряд особенностей.
Главное - размеры орбит искусственных спутников, как правило, сравнимы с размерами планеты, вокруг которой они обращаются, поэтому часто говорят о высоте спутника над поверхностью планеты (рис.21). При этом надо учитывать, что в фокусе орбиты спутника находится центр планеты.
|
| Рис. 21. Орбита искусственного спутника планеты |
Для искусственных спутников вводят понятие первой и второй космической скорости.
Первая космическая скорость или круговая скорость - это скорость кругового орбитального движения у поверхности планеты на высоте h:
| (33) |
Это минимально необходимая скорость, которую необходимо придать космическому аппарату, чтобы он стал искусственным спутником данной планеты. Для Земли у поверхности v к = 7.9 км/сек.
Вторая космическая скорость или параболическая скорость - это скорость, которую необходимо придать космическому аппарату, чтобы он мог покинуть сферу притяжения данной планеты по параболической орбите:
| (34) |
Для Земли вторая космическая скорость равна 11.2 км/сек.
Скорость небесного тела в любой точке эллиптической орбиты на расстоянии R от тяготеющего центра может быть рассчитана по формуле:
| (35) |
Здесь повсюду 
см3/(г 
с2) - это гравитационная постоянная.
Вопросы:
4. Может ли случиться прохождение Марса по диску Солнца? Прохождение Меркурия? Прохождение Юпитера?
5. Можно ли увидеть Меркурий вечером на востоке? А Юпитер?
Задачи
46. Противостояние Марса произошло 19 мая. В каком созвездии он был виден?
Решение: Орбиты всех планет лежат приблизительно в одной плоскости, поэтому планеты двигаются по небесной сфере примерно по эклиптике. В момент противостояния прямые восхождения Марса и Солнца отличаются на 180 o: 
. Вычислим 
на 19 мая. 21 марта оно равно 0 o. В день прямое восхождение Солнца увеличивается примерно на 1 o. С 21 марта по 19 мая прошло 59 дней. Значит, 
, а 
. На небесной карте можно увидеть, что эклиптика при таком прямом восхождении проходит по созвездиям Весы и Скорпион, значит Марс находился в одном из этих созвездий.
47. (398) Наилучшая вечерняя видимость Венеры (наибольшее ее удаление к востоку от Солнца) была 5 февраля. Когда в следующий раз наступила видимость Венеры в тех же условиях, если ее сидерический период обращения равен 225 d?
Решение: Наилучшая вечерняя видимость Венеры наступает во время ее восточной элонгации. Следовательно, следующая наилучшая вечерняя видимось наступит во время следующей восточной элонгации. А промежуток времени между двумя последовательными восточными элонгациями равен синодическому периоду обращения Венеры и легко может быть вычислен:
или P =587 d. Значит, следующая вечерняя видимость Венеры в тех же условиях наступит через 587 дней, т.е. 14-15 сентября следующего года.
48. (663) Определить массу Урана в единицах массы Земли, сравнивая движение Луны вокруг Земли с движением спутника Урана - Титанией, обращающегося вокруг него с периодом 8 d. 7 на расстоянии 438 000 км. Период обращения Луны вокруг Земли 27 d. 3, и среднее расстояние ее от Земли составляет 384 000 км.
Решение: Для решения задачи необходимо воспользоваться третьим уточненным законом Кеплера. Так как для любого тела массой m, обращающегося вокруг другого тела массой 
на среднем расстоянии a с периодом T:
| (36) |
то мы имеем право для любой пары обращающихся друг вокруг друга небесных тел записать равенство:
Принимая за первую пару Уран с Титанией, а за вторую - Землю с Луной, а также пренебрегая массой спутников по сравнению с массой планет получим:
49. Принимая орбиту Луны за окружность и зная орбитальную скорость движения Луны v Л = 1.02 км/с, определить массу Земли.
Решение: Вспомним формулу для квадрата круговой скорости (35) и подставим среднее расстояние Луны от Земли a Л (см. предыдущую задачу):
50. Вычислить массу двойной звезды 
Центавра, у которой период обращения компонентов вокруг общего центра масс T=79 лет, а расстояние между ними 23.5 астрономических единицы (а.е.). Астрономической единицей называется расстояние от Земли до Солнца, равное примерно 150 млн. км.
Решение: Решение этой задачи аналогично решению задачи о массе Урана. Только при определении масс двойных звезд их сравнивают с парой Солнце-Земля и выражают их массу в массах Солнца.
51. (1210) Вычислите линейные скорости космического корабля в перигее и апогее, если над Землей в перигее он пролетает на высоте 227 км над поверхностью океана и большая ось его орбиты составляет 13 900 км. Радиус и масса Земли 6371 км и 6.0 1027 г.
Решение: Рассчитаем расстояние от спутника до Земли в апогее (наибольшем расстоянии от Земли). Для этого необходимо зная расстояние в перигее (наименьшее расстояние от Земли) вычислить эксцентриситет орбиты спутника по формуле (31) и затем определить искомое расстояние используя формулу (32). Получим h a = 931 км.
Далее воспользуемся формулой (35) для вычисления скорости тела на любом расстоянии от тяготеющего центра и вычислим скорость в перигее и апогее:
Получим v п = 8 км/сек, va =7.2 км/сек.
52. (393) Синодический период обращения одного из астероидов составляет 3 года. Каков звездный период его обращения около Солнца?
53. (400) Найти среднее суточное движение Меркурия по орбите (величину дуги орбиты, которую он проходит за земные сутки), если синодический период его обращения вокруг Солнца равняется 115.88 суткам.
54. (417) С какой видимой угловой скоростью Венера пересекает диск Солнца? Сколько времени длится ее прохождение по диску Солнца, если оно центральное? Расстояние Венеры от Солнца 0.723 а.е., синодический период обращения 584 дня, угловой диаметр Солнца 32'.
55. (662) Вычислить массу Нептуна относительно массы Земли, зная, что его спутник отстоит от центра планеты на 354 000 км и период его обращения равен 5 суткам 21 часу.
56. (671) Какова должна быть масса Земли (по сравнению с действительной), чтобы Луна обращалась вокруг нее с современным периодом, но на вдвое большем расстоянии?
57. (675) Удержало ли бы Солнце нашу Землю, несущуюся вокруг него со скоростью 29.76 км/сек, если бы масса Солнца внезапно уменьшилась в два раза?
58. (1214) Для целей связи нужны спутники, которые "висят" над одной и той же точкой Земли, так называемые геостационарные спутники. На какой высоте над поверхностью Земли они должны находиться?
59. (1217) Космонавты облетают Луну по круговой орбите на высоте 50 км. На сколько им надо увеличить двигателями скорость своего космического корабля, чтобы вернуться на Землю? Радиус Луны 1738 км, а ее масса составляет 1/81 массы Земли.