Задание 1. Решение нелинейных уравнений

Лабораторная работа № 3

Цель познакомиться с приемами решения нелинейных уравнений средствами интегрированной среды MathCAD.

Задание: Решить уравнение ln(х) + х-² - 3 = 0

Технология выполнения задания

Многие уравнения, например трансцендентные, и системы из них не имеют аналитических решений. Однако они могут решаться численными ме­тодами с заданной погрешностью (не более значения, заданного системной переменной TOL).

Для простейших уравнений вида f(x)=0 решение находится с помо­щью функции гооd(выражение, имя_переменной, а, b), где а,b- пределы ин­тервала изоляции корня, которые позволяют избежать вывода корней, не представляющих интереса при решении задач, например физических.

Эта функция возвращает с заданной точностью значение переменной, при котором выражение равно нулю и реализует вычисления итерационным методом. Результаты ее использования отображены на рисунке 1.

рисунок 1.

Графическое решение уравнения выполняется в два этапа:

1) Необходимо преобразовать уравнение к виду f(x)=0 и построить график функции f(x)

2)Определить значение точки пересечения графика функции с осью абсцисс, используя трассировку.

Второй этап реализуется в своюочередь в несколько шагов, а именно:

а) выделим область графика функции и активизируем динамическую кнопку Масштаб на панели инструментов Графики;

b) увеличим участок пересечения графика функции сосью ОХ, в соот­ветствии с рисунком 2. Для этого необходимо протащить мышью по полю графика, заключив в рамку исследуемую область. При этом в окне просмотра отображаются минимальные и максимальные значения X и У, определяющие область просмотра. Кнопки Zoom, Uzoom, FullView позволяют соответст­венно увеличить выделенную область графика, снять выделение и вернуться к просмотру всего графика.

рисунок 2

После нажатия на кнопку Zoom, график функции принимает вид, ото­браженный па рисунке 3. Для получения более точного результата получен­ный участок пересечения графика функции с осью ОХ, важно увеличить ана­логичным образом еще несколько раз. Для данного примера остановимся на участке, отображенном на рисунке 4.

с) трассировка увеличенного участка осуществляется с помощью динамической кнопки Слежение, расположенной на панели инструментов Графики. Трассировка начинает работать после выделения графика. В окне графика появляется большое перекрестие из двух черных пунктирных линий. С помощью указателя мыши его можно перемещать по графику с дискретностью, определяемой заданным шагом изменения абсциссы х. При этом координаты текущей точки ближайшей кривой графика, на которую ус­тановлено перекрестие, отображаются в окне трассировки, изображенном на рисунке 5.

Это позволяет в приближении выявить координаты особых точек гра­фика, в данном случае решение уравнения f(x)=0.

Кнопки Сору X и Copy Y позволяют занести соответствующие координаты в буфер обмена. Кнопка Close завершает трассировку и закрывает
окно трассировки. Если установлен флажок Trace Data Point, то при трассировке указатель автоматически устанавливается на точку ближайшей кривой,
отслеживая ее ход. При снятом флажке указатель может быть установлен в
любую точку области графика, при этом координаты этой точки отображаются в окне трассировки.

рисунок 3 рисунок 4

рисунок 5

Таким образом, при решении трансцендентного уравнения первым способом, то есть с помощью встроенной функции root, получено решение х=1,592, а графическим способом получен результат х =1.58.

Для поиска всех корней обычною полинома р(х) степени n MathCAD поддерживает функцию polyroots(V), которая возвращает вектор всех корней полинома степени n, коэффициенты которого находятся в векторе V. имею­щем длину n+1

Замечание: Не рекомендуется использовать эту функцию, если степень полинома выше пятой-шестой, так как трудно получить малую погреш­ность вычисления корней