Прямоугольная система координат на плоскости вводится следующим образом. Возьмем на плоскости две взаимно перпендикулярные числовые оси 0 х и 0 у, имеющие общее начало точку 0 и общую единицу масштаба.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Плоскость, в которой расположены оси 0 х и 0 у, называется координатной плоскостью и обозначается 0 ху.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Горизонтальную ось 0 х называют осью абсцисс, вертикальную ось 0 у – осью ординат, общее начало осей, точку 0 называют началом координат.
Оси 0 х и 0 у образуют прямоугольную (декартовую) систему координат на плоскости.
Возьмем на координатной плоскости 0 ху произвольную точку М. Опустим из нее перпендикуляры на оси координат. На осях получим точки М 1 и М 2 – проекции точки М соответственно на ось 0 х и 0 у (см. рис. 1).
Рис. 1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Координата х точки М 1 на оси 0 х называется абсциссой точки М, координата у точки М 2 на оси 0 у называется ординатой точки М.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Упорядоченная пара чисел (х; у), где х – абсциссаточки М, у – ордината точки М, называются п р я м о у г о л ь н ы м и (или декартовыми прямоугольными) координатами точки М. Записывается так: М (х; у).
Отметим, что оси 0 х и 0 у делят координатную плоскость на четыре части, называемыми четвертями или квадрантами. (См. рис. 2)
Рис. 2
Ясно, что каждой точке на плоскости соответствует единственная упорядоченная пара чисел х и у – ее прямоугольные координаты. Обратно, каждая упорядоченная пара чисел х и у определяет единственную точку на плоскости.
Когда говорят " дана точка " или " найти точку ", то это означает, что заданы или требуется найти координаты этой точки.
Способ определения положения точки с помощью чисел называется методом координат.
Создателем координатного метода был французский математик Декарт, который прилагал этот метод ко многим геометрическим задачам и создал математическую дисциплину – аналитическую геометрию.
Рассмотрим две важные задачи аналитической геометрии на плоскости, которые решаются методом координат.
Задача 1. Расстояние между двумя точками на плоскости.
На плоскости даны две точки М 1 (х 1; у 1) и М 2 (х 2; у 2). Найдем расстояние между ними d. Выполним чертеж, расположив для простоты точки в первой четверти.
Рис. 3
Через точки М 1 и М 2 проведем отрезки М 1 k çç 0 х; М 2 k çç 0 y.
Рассмотрим прямоугольный треугольник D М 1 М 2 k. Его катеты М 1 k = х 2 – х 1; М 2 k = у 2 – у 1.
По теореме Пифагора: 
.
Получим формулу 
(1)
ЗАДАЧА 2. Координаты середины отрезка.
Известны координаты концов отрезка М 1 М 2 - М 1 (х 1; у 1) и М 2 (х 2; у 2). Найдем координаты точки М, являющейся серединой отрезка.
Выполним чертеж, расположив точки в первой четверти.
Рис. 4
Обозначим искомые координаты точки М (х; у). М – середина отрезка М 1 М 2, т.е. М 1 М = ММ 2. Спроектируем точки М 1, М 2 и М на ось 0 х, получим там точки р 1, р 2, р. Из геометрии известно, что р 1 р = рр 2. Выразим эти отрезки через координаты:
р 1 р = х – х 1; рр 2 = х 2 – х
Получим: х – х 1 = х 2 – х
Выразим х: 2 х = х 2 + х 1 Þ 
.
Проектируя точки на ось 0 у аналогично получим: 
.
Формулы 
(2)
позволяют находить координаты середины отрезка.
ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ.
Кроме прямоугольных декартовых координат на плоскости существуют другие системы координат, позволяющие определить положение каждой точки плоскости с помощью двух действительных чисел. Наиболее употребительной после декартовой системы координат является полярная система координат.
Возьмем на плоскости точку 0, которую назовем полюсом. Проведем из полюса луч 0 р, называемый полярной осью.
Полюс и полярная ось образуют полярную систему координат на плоскости. (См. рис. 5)
Пусть М – произвольная точка плоскости, не совпадающая с полюсом. Соединим эту точку М с полюсом 0 отрезком 0 М.
Рис. 5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Расстояние r от точки М до полюса называют полярным радиусом точки М. Угол j между полярной осью и отрезком ОМ называют полярным углом точки М.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Полярный радиус и полярный угол называют полярными координатами точки М.
Будем записывать М (r; j).
Полярный радиус принимает значения r ³ 0 (r = 0 для полюса!).
Полярный угол jотсчитывается от полярной оси к отрезку0 М против часовой стрелки. Значения полярного угла достаточно рассматривать из промежутка 0 £ j< 2p.
ЗАМЕЧАНИЕ. В некоторых вопросах приходится рассматривать углы, большие 2p, а также отрицательные углы, т.е. углы, отсчитываемые от полярной оси по часовой стрелке.
СВЯЗЬ МЕЖДУ ПРЯМОУГОЛЬНЫМИ И ПОЛЯРНЫМИ КООРДИНАТАМИ
Иногда приходится одновременно пользоваться прямоугольными и полярными координатами на плоскости. Рассмотрим переход от полярных координат к прямоугольным и обратно.
Формулы (2) выражают полярные координаты точки через ее прямоугольные.
Заметим, что значению тангенса, найденному по формуле 
в промежутке 0 £ j< 2p соответствуют два значения угла j. Выбирается то значение j, которое соответствует положению точки М на координатной плоскости.
ПРИМЕР 1. Зная декартовы координаты точки М (
; у = 1), найти ее полярные координаты.
Решение. По формулам (2) получим:
.
Этому значению тангенса соответствуют два значения угла 
. Т.к. точка лежит в I четверти берем 
.
Значит полярные координаты точки 
.
ПРИМЕР 2. Записать в полярных координатах уравнение окружности с центром в начале координат радиуса а.
Решение. Уравнение окружности с центром в начале координат радиуса а в декартовых координатах имеет вид: х 2 + у 2 = а 2.
Подставим вместо х, у их выражение через полярные координаты по формулам (1). Получим (r cos j)2 +(r sin j)2 = a 2.
r 2 (cos2 j +sin2 j) = a 2 Þ r 2 = a 2 Þ r = a.
Получим r = а – полярное уравнение окружности с центром в начале координат радиуса а.
Предположим, что полюс полярной системы координат совпадает с началом прямоугольной системы координат 0 ху, а полярная ось совпадает с положительной полуосью 0 х.
 |
Рис. 6
1. Переход от полярных координат к прямоугольным.
Пусть известны полярные координаты произвольной точки М (r; j). х = 0K, y = MK - прямоугольные координаты точки М. Из чертежа на рис.6 из прямоугольного треугольника ОМК получим:
(3)
Формулы (3) выражают прямоугольные координаты точки через ее полярные координаты.
2. Переход от прямоугольных координат к полярным.
Из прямоугольного треугольника ОАМ получаем по теореме Пифагора:
Из того же треугольника имеем: 
(4)
Отметим, что полярные координаты, наряду с прямоугольными, широко используется в топографии для определения положения объектов на местности.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На лекции рассмотрен предмет математики, некоторые исторические сведения. Новым вопросом является понятие полярных координат, которые находят широкое применение на практике. Характерно, что прямоугольные и полярные координаты часто используют одновременно, поэтому важно усвоить связь между ними. Курсантам рекомендуется при изучении материала лекции подготовить ответы на предлагаемые далее вопросы.
доцент Смирнова А.И.
"____" __________ 2004 г.