Для перевода смешанного числа следует переводить его целую и дробную части отдельно:
1. Для перевода целой части (или простого целого) числа необходимо разделить его на основание системы счисления q и продолжать делить частные от деления до тех пор, пока частное не станет равным 0. Значения получившихся остатков, записанные в обратной последовательности, образуют целую часть числа с основанием q.
2. Для перевода дробной части числа (или числа, у которого «0» целых) необходимо умножить ее на основание q. Затем, отбрасывая у результата целую часть, продолжать процесс умножения до тех пор, пока дробная часть произведения не окажется равной нулю или не будет достигнута нужная точность дроби. Целые части произведений, записанные после запятой в прямой последовательности (начиная с первого), образуют дробную часть числа в системе счисления с основанием q.
Рассмотрим перевод смешанного числа из десятичной в двоичную систему счисления на примере числа 46,625.
1. Переводим целую часть числа:
Остаток
46:2=23 0
23:2=11 1
11:2=5 1
5:2=2 1
2:2=1 0
1:2=0 1
Запишем остатки, начиная с последнего - 101110, т.е. 4610=1011102
2. Переводим дробную часть числа:
0,625 × 2=1,250
0,250 × 2=0,500
0,500 × 2=1,000
Запишем целые части произведений, начиная с первого – 0,101, т.е. 0,62510 = 0,1012
Ответ: 46,62510 = 101110,1012
Для того чтобы выполнить обратное преобразование, необходимо число в системе счисления с основанием q записать в развернутом виде и выполнить необходимые вычисления.
Рассмотрим перевод двоичного числа 101110,1012 в десятичное число. Для этого запишем это двоичное число в развернутом виде, используя формулу:
Аq=an-1 • qn-1 + an-2 • qn-2 + …+ a0 • q0 +a-1 • q-1 + a-2 • q-2 + …+ a-m • q-m
и выполним необходимые вычисления.
Основание системы: q=2, число разрядов целой части числа: n=6, число разрядов дробной части числа: m=3, цифры двоичной системы счисления а представлены нулем или единицей.
101110,1012=1×25+0×24+1×23+1×22+1×21+0×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3 =32+0+8+4+2+0+1/2+0+1/8=46,62510
Рассмотрим перевод шестнадцатеричного числа 9D,116 в десятичное:
9D,116=9×161+13×160+1×16-1=144+13+1/16=157,062510
Алгоритм перевода чисел из двоичной системы счисления в систему счисления с основанием 2n
Для того чтобы записать смешанное двоичное число в системе счисления с основание q=2n, нужно:
1. Целую часть данного двоичного числа разбить справа налево, а дробную – слева направо на группы по n цифр в каждой. Если в последних левой и/или правой группах окажется меньше nразрядов, то их надо дополнить слева и/или справа нулями до нужного числа разрядов.
2. Рассмотреть каждую группу как n-разрядной двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2n.
Рассмотрим перевод смешанного двоичного числа 111100101,01112 в восьмеричную систему счисления.
Разбиваем целую и дробную части двоичного числа на триады и над каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:
| 7 4 5, 3 4 111 100 101, 011 100 |
Ответ: 111100101,01112 = 745,348
Алгоритм перевода чисел из систем счисления с основанием 2n в двоичную систему
Для того чтобы записать смешанное число, записанное в системе счисления с основание q=2n, перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n-значным эквивалентом в двоичной системе счисления.
