Лабораторная работа № 5
ИССЛЕДОВАНИЕ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Цель работы: для системы, представленной на рисунке 1, провести исследование влияния коэффициентов ПИД-регулятора на ее устойчивость, скорость сходимости переходного процесса, его колебательность, а также на значения интегральной и интегрально-квадратичной ошибок 
, 
.
Звено и регулятор, выбрать в соответствии с вариантом.
Рисунок 1. Структурная схема исследуемой системы
Теоретические сведения
В составе структуры АСР содержится управляющее устройство, которое называется регулятором и выполняет основные функции управления, путем выработки управляющего воздействия u в зависимости от ошибки (отклонения), т.е. u = f (D). Закон регулирования определяет вид этой зависимости, а также определяет основные качественные и количественные характеристики систем.
Различают линейные и нелинейные законы регулирования. Кроме того, законы регулирования могут быть реализованы в непрерывном виде или в цифровом.
К линейным законам регулирования относятся: пропорциональный, интегральный, дифференциальный и различные сочетания этих трех законов.
Простейшим является пропорциональныйзакон, и регулятор в этом случае называют П-регулятором. При этом u = u 0 + kD, где u 0 – постоянная величина, k – коэффициент пропорциональности. Основным достоинством П-регулятора является простота. Недостатки П-регулятора заключаются в невысокой точности регулирования, особенно для объектов с плохими динамическими свойствами.
Интегральный закон регулирования и соответствующий
И-регулятор реализует следующую зависимость:
,
где Т – постоянная времени интегрирования. И-регуляторы обеспечивают высокую точность в установившемся режиме. Вместе с тем И-регулятор вызывает уменьшение устойчивости переходного процесса и системы в целом.
Пропорционально-интегральный закон регулирования позволяет объединить положительные свойства пропорционального и интегрального законов регулирования. В этом случае
ПИ-регулятор реализует зависимость:
.
При введении в пропорциональный закон регулирования производной от ошибки имеем пропорционально-дифференциальный закон регулирования, регулятор является
ПД-регулятором, который реализует зависимость:
.
Кроме ПИ и ПД регуляторов, часто на практике используют ПИД-регуляторы, которые реализуют пропорционально-интегрально-дифференциальный закон регулирования:
.
Оценки качества регулирования. Кроме устойчивости АСР анализируются с точки зрения качества регулирования. В общем случае качество регулирования представляет собой совокупность точности в установившемся режиме и качества переходных процессов.
Оценки качества могут быть прямыми и косвенными. В свою очередь прямые и косвенные могут быть статическими и динамическими. Динамические оценки характеризуют переходной процесс, а статические – установившийся режим.
Прямые оценки определяются непосредственно по переходной характеристике по каналу управления или возмущения (рисунок 2).
Рисунок 2. Переходная характеристика
Качество регулирования определяется по следующим критериям. К основным прямым оценкам относятся следующие.
Перерегулирование (s) - разность между максимальным значением переходной характеристики h max1 и её установившимся значением h уст, выраженная в процентах: 
.
В большинстве случаев требуется, чтобы перерегулирование не превышало 10 – 30 %.
Время регулирования (t p) оценивает длительность переходного процесса. Так как теоретически длительность переходного процесса идеальных систем равно ¥, за время регулирования принимается тот интервал времени, по истечении которого отклонение переходной характеристики от установившегося значения не превышает некоторой заданной величины q. Значение q выбирают обычно равным 5 %.
Декремент затухания(e). Максимальное перерегулирование (h max1) характеризует склонность системы к колебательности. Декремент колебательности (степень затухания) - количественная оценка интенсивности затухания колебательности переходного процесса: 
.
Число колебаний (n), которое имеет переходная характеристика за время регулирования t p. Если переходная характеристика представляет собой затухающие колебания, то система считается устойчивой. При этом допускается не более 2 – 3 колебаний.
Также к прямым оценкам качества переходного процесса относятся: время нарастания переходного процесса (t н), время достижения первого максимума (t max).
Среди косвенных оценок наибольшее распространение получили интегральные оценки. Существует две разновидности интегральной оценки: линейная и квадратичная.
Линейная интегральная оценка определяется следующим выражением: 
, где y - текущее значение рабочего параметра.
Эта оценка может быть применена только при монотонных переходных процессах при отсутствии колебаний.
Квадратичная интегральная оценкаприменяется как при монотонных, так и при колебательных переходных процессах и определяется следующим соотношением: 
.
Недостаток квадратичной интегральной оценки заключается в том, что различные по характеру переходные процессы могут иметь одну и ту же величину оценки.
Алгоритм выполнения работы
1. Записать передаточную функцию разомкнутой системы.
2. Определить корни характеристического уравнения. По найденным корням сделать вывод об устойчивости разомкнутой системы.
3. Записать передаточную функцию замкнутой системы и построить переходной процесс.
4. Сделать вывод об устойчивости замкнутой системы по рассчитанным коэффициентам.
5. Проанализировать поведение системы при изменении коэффициентов K п, K и и K д. Рассчитать значения интегральной и интегрально-квадратичной ошибок.
Примеры расчета
Для звена, заданного передаточной функцией 
и пропорционально-интегрально-дифференциального регулятора с передаточной функцией 
, провести исследование влияния коэффициентов регулятора на устойчивость системы, представленной на рисунке 1, скорость сходимости переходного процесса, его колебательность, а также на значения интегральной и интегрально-квадратичной ошибок.
Решение
1. Передаточная функция разомкнутой системы:
.
2. Характеристическое уравнение разомкнутой системы:
имеет два действительных отрицательных корня
, 
и один нулевой корень p 3 = 0.
Вывод. Разомкнутая система находится на границе устойчивости.
3. Передаточная функция замкнутой системы:
.
4. Переходной процесс при единичном ступенчатом воздействии в изображении по Лапласу:
.
5. Получили достаточно сложное выражение. Для обратного преобразования Лапласа воспользуемся функцией invlaplace среды MathCAD. Получим переходной процесс для единичного ступенчатого воздействия при T 1 = 12, T 2 = 25, k = 3, k п = 5, k и = 0,5, k д = 5:
6. Строим переходной процесс по полученному уравнению (рисунок 3).
Рисунок 3. Переходной процесс для замкнутой системы
Вывод. Анализ переходного процесса показал, что при данных коэффициентах замкнутая система будет устойчивой.
7. Определим при помощи среды MathCAD значения интегральной и интегрально-квадратичной ошибок, исходя из того, что время регулирования составит 150 с (см. рисунок 3):
, 
.
8. Рассмотрим поведение системы при изменении коэффициентов k п, k и, k д. Переходной процесс при T 1 = 12, T 2 = 25, k = 3, k п = 5, k и = 0,5, k д = 12:
Переходной процесс представлен на рисунок 3.
9. Определим при помощи среды MathCAD значения интегральной и интегрально-квадратичной ошибок, исходя из того, что время регулирования составит 100 с (см. рисунок 3):
, 
.
10. Переходной процесс при T 1= 12, T 2= 25, k = 3, k п = 5, k и = = 0,5, k д = 0,2:
Переходной процесс представлен на рисунке 4.
Рисунок 4. Переходной процесс для замкнутой системы
11. Определим при помощи среды MathCAD значения интегральной и интегрально-квадратичной ошибок, исходя из того, что время регулирования составит 320 с (см. рисунок 4):
, 
.
12. Переходной процесс при T 1 = 12, T 2 = 25, k = 3, k п = 5, k и=0,8, k д = 5:
Переходной процесс представлен на рисунок 4.
13. Определим при помощи среды MathCAD значения интегральной и интегрально-квадратичной ошибок, исходя из того, что время регулирования составит 550 с (см. рисунок 4):
, 
.
14. Переходной процесс при T 1=12, T 2=25, k =3, k п=5, k и=0,1, k д=5:
Переходной процесс представлен на рисунке 3.
15. Определим при помощи среды MathCAD значения интегральной и интегрально-квадратичной ошибок, исходя из того, что время регулирования составит 80 с (см. рисунок 3):
, 
.
16. Переходной процесс при T 1=12, T 2=25, k =3, k п=3, k и=0,5, k д=5:
Переходной процесс представлен на рисунке 4.
17. Определим при помощи среды MathCAD значения интегральной и интегрально-квадратичной ошибок, исходя из того, что время регулирования составит 650 с (см. рисунок 4):
, 
.
18. Переходной процесс при T 1=12, T 2=25, k =3, k п=8, k и=0,5, k д=5:
.
Переходной процесс представлен на рисунке 4.
19. Определим при помощи среды MathCAD значения интегральной и интегрально-квадратичной ошибок, исходя из того, что время регулирования составит 80 с (см. рисунок 3):
, 
.
20. Переходной процесс при T 1=12, T 2=25, k =3, k п=5, k и=0,5, k д=0:
Переходной процесс представлен на рисунке 4.
21. Определим при помощи среды MathCAD значения интегральной и интегрально-квадратичной ошибок, исходя из того, что время регулирования составит 400 с (см. рисунке 4):
, 
.
22. Переходной процесс при T 1=12, T 2=25, k =3, k п=5, k и=0, k д=5:
.
Переходной процесс представлен на рисунке 3.
23. Определим при помощи среды MathCAD значения интегральной и интегрально-квадратичной ошибок, исходя из того, что время регулирования составит 80 с (см. рисунок 3):
, 
.
24. Переходной процесс при T 1=12, T 2=25, k =3, k п=0, k и=0,5, k д=5:
Переходной процесс представлен на рисунке 5.
Рисунок 5. Переходной процесс для замкнутой системы
при T 1 = 12, T 2 = 25, k = 3, k п = 0, k и = 0,5, k д = 5
25. Определим при помощи среды MathCAD значения интегральной и интегрально-квадратичной ошибок:
, 
.
26. На основе проделанного анализа данной замкнутой системы можно сделать вывод:
- при увеличении коэффициента дифференцирования k д, коэффициента пропорциональности k п и при уменьшении коэффициента интегрирования k и колебательность переходного процесса уменьшается и система становится более устойчивой;
- при уменьшении k д, k п и увеличении k и колебательность переходного процесса увеличивается и система теряет устойчивость;
- при увеличении устойчивости повышением k д значение интегральной ошибки уменьшается по сравнению с исходным переходным процессом, а понижением k и и повышением k п ошибка увеличивается, причем при изменении k и ошибка много больше, чем при изменении k п. При уменьшении устойчивости уменьшением k д ошибка возрастает, а увеличением k и и уменьшением k п – уменьшается. Интегральная квадратичная ошибка уменьшается при увеличении устойчивости и увеличивается при ее потере (по сравнению с системой при исходном переходном процессе);
- при отсутствии дифференциальной составляющей (k д = 0) колебательность переходного процесса увеличивается, т.е. время сходимости увеличивается и система теряет устойчивость. При отсутствии интегральной составляющей (k и = 0) – наоборот. При отсутствии пропорциональной составляющей (k п = 0) система полностью теряет устойчивость.
Варианты задания
Передаточная функция звена
Значения коэффициентов для ПИД-регулятора –
коэффициента дифференцирования k д, коэффициента пропорциональности k п и коэффициента интегрирования k и
| вариант | k д | k п | k и |
| 0,4 | 0,7 | 0,1 | |
| 0,3 | 0,3 | 0,7 | |
| 0,6 | 0,4 | 0,2 | |
| 0,6 | 0,2 | 0,5 | |
| 0,8 | 0,4 | 0,7 | |
| 0,4 | |||
| 0,1 | 0,2 | 0,1 | |
| 0,4 | 0,4 | 0,6 | |
| 0,3 | 0,6 | 0,4 | |
| 0,5 | 0,6 | 0,8 | |
| 0,8 | 0,4 | 0,7 |
5.5 Контрольные вопросы и задания
1. Что такое регулятор и каковы его функции?
2. Какие выделяют законы регулирования?
3. Интегральный закон регулирования, И-регулятор.
4. Пропорциональный закон регулирования, П-регулятор.
5. Пропорционально-интегральный закон регулирования, ПИ-регулятор.
6. Пропорционально-дифференциальный закон регулирования, ПД-регулятор.
7. Пропорционально-интегрально-дифференциальный закон регулирования, ПИД-регулятор.
8. Назовите оценки качества регулирования.
9. Перерегулирование. Время регулирования.
10. Линейная интегральная и квадратичная интегральная оценки.
11. Влияние коэффициентов регулятора на устойчивость системы, на скорость сходимости и колебательность переходного процесса.
12. Влияние коэффициентов регулятора на значения интегральной и интегрально-квадратичной ошибок.