на плоскости и в пространстве

Тема: Аналитическая геометрия

Лекция № 7 “Прямая на плоскости. Основные задачи”

1. Общее уравнение прямой.

Пусть на плоскости дана декартова система координат. Движение точки с произвольными координатами и по этой плоскости порождает линию.

О1. Любое соотношение (имеющее смысл в области вещественных чисел), где некоторое выражение, связывающее переменные величины и , называется уравнением с двумя неизвестными, которое определяет линию. Точки, принадлежащие линии, удовлетворяют приведенному соотношению, а точки вне линии – не удовлетворяют.

О2. Порядок линии определяется по высшему показателю степени переменных и или по сумме показателей степени в произведении этих величин.

Пример 1. а) – линия первого порядка; точка удовлетворяет этому соотношению, а точка, например, – ему не удовлетворяет;

б) – линия восьмого порядка;

в) и – линии второго порядка.

Рассмотрим другое определение линии:

О2. Геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению , называется линией, а само уравнение – уравнением линии.

О3. Общим уравнением прямой называется уравнение первого порядка вида .

Рассмотрим частные случаи этого уравнения:

а) – прямая проходит начало системы координат ( Рис. 20 )

Рис. 20. Прямая, проходящая

через начало координат.

б) – прямая проходит параллельно оси ординат ( Рис. 21 )

Рис. 21. Прямая, проходящая параллельно

оси ординат .

в) – прямая проходит параллельно оси абсцисс ( Рис. 22 )

Рис. 22. Прямая, проходящая

параллельно оси абсцисс .

2. Виды уравнений прямой.

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть дано общее уравнение прямой , в котором коэффициент . Разрешим общее уравнение прямой относительно переменной : . Обозначим через и , тогда уравнение примет вид , которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Выясним геометрический смысл параметров и . При , т.е. параметр показывает, какой величины отрезок отсекает прямая на оси ординат, считая от начала отсчета. При , т.е. прямая отсекает на оси абсцисс отрезок ( Рис. 23 ).

Рис. 23. Отрезки, отсекаемые прямой на

координатных осях.

Из рисунка видно, что , т.е. угловой коэффициент определяет тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс .

2. Уравнение прямой в отрезках.

, называется уравнением прямой в отрезках.

3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

или - уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки и .

4. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору ( каноническое уравнение прямой ). Пусть прямая проходит через заданную точку параллельно вектору .

. Полученное уравнение называется либо уравнением, проходящим через заданную точку параллельно направляющему вектору, либо каноническим уравнением прямой.

5. Параметрическое уравнение прямой. Если каждую дробь в каноническом уравнении прямой приравнять некоторому параметру , то получим параметрическое уравнение прямой .

3. Основные задачи.

1. Координаты точки пересечения двух прямых. Пусть две прямые заданы общими уравнениями . Требуется найти координаты точки пересечения этих прямых. Для того чтобы вычислить координаты точки пересечения , необходимо решить вышеприведенную систему линейных алгебраических уравнений, так как координаты точки должны одновременно удовлетворять уравнениям прямых и .

2. Угол между двумя пересекающимися прямыми. Пусть даны две пересекающиеся прямые, заданные уравнениями с угловыми коэффициентами

. Требуется найти угол между этими прямыми ( Рис. 26 ).

Рис. 26. Угол между двумя прямыми.

. Из полученной формулы видно:

а) если прямые и параллельны или совпадают ( или ), то . Отсюда следует условие параллельности прямых: угловые коэффициенты прямых равны между собой .

а) если прямые и перпендикулярны (), то не существует. Отсюда следует условие перпендикулярности прямых: угловые коэффициенты прямых связаны между собой соотношением .

Пример 4. Определить угол между прямыми

В силу того, что , то прямые параллельны, следовательно, .

Пример 5. Выяснить взаимное расположение прямых

Так как угловые коэффициенты и связаны между собой соотношением , то прямые взаимно перпендикулярны.

3. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до прямой определятся вдоль перпендикуляра, опущенного из точки на прямую . Если прямая задана общим уравнением, то расстояние от точки до прямой

определяется формулой: . Если прямая задана уравнением прямой с угловым коэффициентом, то расстояние от точки до прямой определяется формулой: .

Лекция № 8 “Кривые второго порядка”

1. Окружность.

О1. Кривой второго порядка называется линия, описываемая уравнением .

З1. Если коэффициенты , уравнение кривой II порядка вырождается в уравнение прямой.

При определенных значениях параметров, входящих в это уравнение, оно дает канонические уравнения окружности, эллипса (не путать с овалом), гиперболы и параболы. Рассмотрим эти кривые второго порядка в указанной последовательности.

О2. Окружностью называется геометрическое место точек равноудаленных от выделенной точки , называемой центром окружности, на

расстояние , которое называется радиусом окружности.

Получим уравнение окружности ( Рис. 27 ). Пусть точка лежит на окружности

Рис. 28. Окружность.

Если , то уравнение принимает вид , которое называется каноническим уравнением окружности.

2. Эллипс.

О3. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух выделенных точек и , называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная и равная .

Расстояние между фокусами (фокусное расстояние) равно .

каноническое уравнение эллипса: . Если , то эллипс вытянут вдоль оси , при выполнении противоположного неравенства – вдоль оси (при этом фокусы тоже расположены на этой оси). Найдем координаты точек пересечения эллипса с координатными осями:

, т.е. точками пересечения эллипса с осью абсцисс будут точки и ;

, т.е. точками пересечения эллипса с осью ординат будут точки и ( Рис. 30 ).

О4. Найденные точки называются вершинами эллипса.

Рис. 30. Вершины, фокусы и параметры

эллипса.

О5. Если , то параметр называется большой, а параметр – малой полуосями эллипса.

О6. Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к большой полуоси эллипса .

Из определения эксцентриситета эллипса следует, что он удовлетворяет двойному неравенству .

Пример 1. Составить уравнение эллипса, если его большая полуось , а его эксцентриситет .

Исходя из понятия эксцентриситета, найдем абсциссу фокуса, т.е. параметр : . Зная параметр , можно вычислить малую полуось эллипса . Следовательно, каноническое уравнение заданного эллипса имеет вид: .

3. Гипербола.

О7. Гиперболой называется геометрическое место точек абсолютное значение разности расстояний от которых до двух выделенных точек и , называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная и равная .

Каноническое уравнение гиперболы: . Для знака “+” фокусы гиперболы расположены на оси , вдоль которой вытянута гипербола. Для знака “–” фокусы гиперболы расположены на оси , вдоль которой вытянута гипербола. Найдем координаты точек пересечения гиперболы с координатными осями:

, т.е. точками пересечения гиперболы с осью абсцисс будут точки и ;

, т.е. гипербола не пересекает ось ординат.

О8. Найденные точки и называются вершинами гиперболы.

Рис. 32. Асимптоты и параметры гипер-

гиперболы.

О9. Прямые, к которым неограниченно приближается график гиперболы называются асимптотами гиперболы.

В данном конкретном случае параметр называется действительной, а параметр – мнимой полуосями гиперболы.

О10. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного

расстояния к действительной полуоси гиперболы .

Из определения эксцентриситета гиперболы следует, что он удовлетворяет

неравенству . Если эксцентриситет , то и гипербола становится равнобочной. Если , то и гипербола вырождается в два полубесконечных отрезка и .

Пример 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если мнимая полуось и гипербола проходит через точку .

Для решения задачи воспользуемся каноническим уравнением гиперболы, подставив в него все известные величины:

. Следовательно, каноническое уравнение гиперболы имеет вид

4. Парабола.

О11. Параболой называется геометрическое место точек равноудаленных от выделенной точки , называемой фокусом параболы, и прямой , называемой директрисой.