Исследование движения механической системы с использованием общего уравнения динамики

Курсовая работа

По дисциплине: «Теоретическая механика»

«Исследование движения механической системы с использованием общих теорем и принципов динамики»

А-261(2)

Выполнил Проверил

Студент: Ларионов Д.С. Преподаватель: Каиров Т.В.

Дата: ____________ Дата: _____________

Подпись: _________ Подпись: __________

Оценка: ___________

Мурманск

Содержание

1. Исследование движения механической системы с использованием общего уравнения динамики …………………………………………2

2. Исследование движения механической системы с использованием общего уравнения динамики в обобщенных координатах (уравнение Лагранжа второго рода)………………………………………………..7

3. Список использованной литературы…………………………………10

 

Исследование движения механической системы с использованием общего уравнения динамики

Исходные данные

Д3

т1, кг	т2, кг	т3, кг	R1, м	R2, м	r2, м	, м	Р, Н	М,	Мс,
250	150	400	0,4	0,3	0,15	0,2	15000	6000	500

 

 

Применим в ходе анализа движения механизма общее уравне­ние динамики.

 

1.1 Зададим направления ускорений (, , ) звеньев ме­ханизма. Предположим, что направления этих ускорений совпадают с положительным направлением координат , ,, определяющих положение этих звеньев. Приложим к телам сис­темы силовые факторы инерции. Силы инерции звеньев 1 и 2, вра­щающихся вокруг осей и , соответственно приводятся к моментам сил инерции и направленным противоположно соответствующим ускорениям и , величины которых равны:

Сила инерции груза 3, движущегося поступательно с ускорени­ем , направлена противоположно ускорению и численно равна

Учитывая, что взаимосвязь между ускорениями:

выражения (1.1) и (1.2) примут вид:

1.2Зададим механической системе возможное перемещение (, , ) в направлении положительного отсчета соответству­ющих координат и составим общее уравнение динамики для этой системы, приравняв к нулю сумму элементарных работ всех вне­шних (заданных) сил и сил инерции материальных точек системы на этом возможном перемещении:

В нашем случае на механическую систему действуют силы тя­жести , , , вращающий момент , момент сопротивле­ния вращению , силы реакции в опорах , , , , и силы инерции , , . Поскольку на систему наложены идеальные связи (шарниры без трения и гибкая нерастяжимая нить, а также существует внутренняя связь между звеньями 1 и 2, кото­рую можно представить либо как зубчатое зацепление без трения, либо как фрикционное зацепление без проскальзывания), то по опре­делению элементарная работа сил реакций идеальной связи равна нулю и не входит в (1.4). Заметим сразу же, что равны нулю и не входят в (1.4) элементарные работы сил , , , , , , так как эти силы приложены к неподвижным точкам. Знак каждой работы устанавливается по общему правилу: если направление сило­вого фактора (силы или момента) совпадает с направлением соот­ветствующего ему перемещения (линейного или углового), то работа считается положительной, в противном случае работа силового фак­тора отрицательна.

Итак, общее уравнение динамики для нашей механической системы имеет вид:

Приведем зависимости между коорди­натами звеньев:

Так как на механическую систему наложены стационарные и голономные связи, то записать зависимости между возмож­ными перемещениями звеньев можно аналогично (1.5):

С учетом (1.6) выражение (1.5) примет вид:

После сокращения на имеем

Подставив в (1.7) вместо , , их выражения из (1.3), получим

откуда

Подставив в (1.8) исходные данные, находим

Определив угловое ускорение звена 2, найдем закон его движе­ния:

Проинтегрируем это равенство, учитывая, что для начала движения ₂₀ = 0 и ₂₀ = 0:

Откуда .

Учитывая, что и выполнив аналогичные преобразования, получим

1.3. Исследовательская часть

Для определения натяжения нити, на которой подвешен груз 3, и окружного усилия в точке касания звеньев 1 и 2 составим общее уравнение динамики для звена 1 и отдельно для груза 3. При этом искомые усилия становятся внешними силами по отношению к этим телам. Для звена 2 общее уравнение динамики примет вид

Откуда

Для груза 3 общее уравнение динамики примет вид

откуда, учитывая, что , имеем

 

2.Исследование движения механической системы с использованием общего уравнения динамики в обобщенных координатах (уравнение Лагранжа второго рода)

Исходные данные

Д4

кг	кг	кг	кг	м	м	м	м		f	S, м
				0,5	0,3	0,4	0,2	60◦	0,11

 

Рассмотрим движение неизменяемой системы с идеальными связями, движущимися под воздействием внешних сил:

· тяжести

· трения скольжения

Реакции идеальных связей не учитываем, так как их элементарная работа равна 0.

Применим для анализа движения рассматриваемой механической системы на заданном перемещении S уравнение Лагранжа второго рода:

(2.1)

Где –Т- кинетическая энергия системы за время движения;

q- обобщенная координата системы (q=x);

- обобщенная скорость системы ( = = );

 

- обобщенная сила системы, соответствующая обобщенной координате. С учетом принятых обозначений (2.1) примет вид:

(2.2)

Кинетическая энергия механической системы была найдена в РГЗ №1:

(2.3)

Найдем сумму элементарных работ всех действующих на систему внешних сил бесконечно малом перемещении тела А

 

 

Сумму элементарных работ всех внешних сил найдем по формуле:

(2.4)

По определению, обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате х, равна:

(2.5)

 

 

Вычислим производные уравнения (2.2):

 

(2.6)

 

Подставляя (2.5) и (2.6) в (2.2) имеем:

 

 

 

Определим скорость тела А:

 

Умножив последнее равенство на , получим:

Выше было указано, что

 

, поэтому:

Проинтегрировав данное равенство и учитывая, что x=S, получим:

 

откуда:

 

Список использованной литературы:

 

1. Айзерман Т. Б. и др. Руководство к решению задач по теоретической механике. – М.: Высш. шк., 1985. – 367 с.

2. Бать И. и др. Теоретическая механика в примерах и задачах. – М.: Высш. шк., 1990. – 631 с.

3. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Учеб. Для втузов. – 10-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1986. – 416 с.