Определение 3.1. Объединением двух множеств А и В называется множество, обозначаемое А È В и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В:
А È В = { x | x Î A или x Î В }.
Например, если А = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}, то А È В = {1, 2, 3, 4, 5} (см. также рис. 1.2).
Определение 3.2. Пересечение двух множеств А и В называется множество, обозначаемое А Ç В и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат обеим множествам А и В одновременно:
А Ç В = { x | x Î A и x Î В }.
Например, если А = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}, то А Ç В = {3} (см. также рис. 1.2).
Определение 3.3. Разностью двух множеств А и В называется множество, обозначаемое А \ В и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В:
А \ В = { x | x Î A и x Ï В }.
Например, если А = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}, то А \ В = {1, 2}, В \ А = {4, 5} (см. также рис. 1.3).
Определение 3.4. Дополнением множества А до множества U называется множество, обозначаемое 
и равное разности множеств U и A: = U \ A.
Вместо обозначения 
употребляются также обозначения С А или C UA (последнее - при необходимости указать множество U).
Например, если U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {3, 4, 5}, то 
= {1,2,6} (см. также рис. 1.3).
Определение 3.5. Симметрической разностью двух множеств А и В называется множество, обозначаемое А D В и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В или принадлежат множеству В, но не принадлежат множеству А:
А D В = { x | (x Î A и x Ï В)или(x Î В и x Ï А)} = (А \ В)È(В \ А).
Например, если А = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}, то А D В = {1, 2, 4, 5} (см. также рис. 1.3).
Операции над множествами вполне определяются следующей таблицей принадлежности, в которой "1" обозначает то, что элемент принадлежит множеству, "0" - элемент не принадлежит множеству.
| A | B | A È B | A Ç B | A \ B | A D B | C A |
Теорема 3.1. Для любых множеств А, В, С справедливы свойства:
1.1. (A È B) È C = A È (B È C), 1.2. (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C) (ассоциативные законы);
2.1. A È B = B È A, 2.2. A Ç B = B Ç A (коммутативные законы);
3.1. A È(B Ç C) = (A È B)Ç(AÈ C), 3.2. A Ç(B È C) = (A Ç B)È(AÇ C) (дистрибутивные законы);
4.1. A È Æ = A, 4.2. A Ç U = A (законы нейтральных элементов);
5.1. A È U = U, 5.2. A Ç Æ = Æ (законы поглощения);
6.1. A È A = A, 6.2. A Ç A = A (законы идемпотентности);
7.1. A È С A = U, 7.2. A Ç С A = Æ (законы дополняемости);
8.1. С(A È B) = C A Ç C B, 8.2. C(A Ç B) = C A È C B (законы А. де Моргана: шотландский математик - (1806-1871));
9.1. CÆ = U, 9.2. C U = Æ;
10. C(C A) = A (закон инволюции).
Доказательство. Все равенства можно доказать используя определения равенства множеств и определения 3.1-3.5 булевых операций. Докажем, например, первую формулу де Моргана.
1. Пусть x Î С(A È B). Тогда по определению 3.4 x Ï A È B и по определению 3.1 x Ï A и x Ï B. Следовательно, по определению 3.4 x Î С A и x Î С B и по определению 3.2 x Î C A Ç C B.
2. Пусть x Î C A Ç C B. Тогда по определению 3.2 x Î С A и x Î С B и по определению 3.4 x Ï A и x Ï B. Следовательно, по определению 3.1 x Ï A È B и по определению 3.4 x ÎС(A È B).
Для проверки равенства множеств удобно использовать таблицы принадлежности. Докажем этим способом равенство 3.1. Для этого составим таблицы принадлежности множеств, стоящих в правой и левой частей формулы, совместив их в одной таблице:
| A | B | C | B Ç C | A È(B Ç C) | A È B | A È C | (A È B)Ç(AÈ C) |
Так как пятый и восьмой столбцы построенной таблицы совпадают, то это показывает, что каждый элемент множества A È(B Ç C) принадлежит множеству (A È B)Ç(AÈ C) и обратно, и эти множества равны.
Упражнения: 3.1. Пусть A = { x Î R | x 2- x -6³0}, B = { x Î R | x 2+ x -6³0}. Найти множества A È B, A Ç B, A \ B, B \ A.
3.2. Пусть A = {(x, y)| x 2+ y 2-9³0}, B = { x Î R | x +2 y +6³0}. Изобразить на плоскости множества A È B, A Ç B, A \ B, B \ A.
3.3. Изобразить множества в правой и левой частях равенств 1.1-9 теоремы 3.1 на диаграммах Эйлера-Венна.
3.4. Доказать равенства 3.1-3.2, 8.2 теоремы 3.1 по определению.
3.5. Доказать равенства 1.1-9 теоремы 3.1 с помощью таблиц принадлежности.