Алгебра и теория чисел
Толстиков А.В.
Лекция 3
Системы линейных уравнений
План
1. Основные понятия и обозначения.
2. Элементарные преобразования системы линейных уравнений.
3. Ступенчатая матрица. Приведение матрицы к ступенчатому виду.
4. Метод Гаусса.
Литература
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997, с. 25-48.
2. Ермаков В.И. Общий курс высшей математики. М.: Инфра - М, 2000. с. 5-22
3. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. М.: Юнити, 2000. с. 38-56.
1. Основные понятия и обозначения. Простейшие системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными изучаются в средней школе: 
Известно, что справедлив один из следующих трех случаев: либо система имет одно решение, либо имеет бесконечно много решений, либо не имеет решений. В этом параграфе мы будем рассматривать общие системы линейных уравнений и установим это утверждение в общем случае кроме того изложим один из наиболее удобных методов решения систем линейных уравнений - метод последовательного исключения неизвестных или метод Гаусса по имени выдающегося немецкого математика К. Ф. Гаусса (1777-1855).
Определение 1. Системой m линейных уравнений с n неизвестными
x1, x2,..., xn называется система уравнений
(1)
где a 11, a 12,..., amn - фиксированные числа (действительные, комплексные или принадлежащие некоторому полю), называемые коэффициентами при неизвестных, b 1, b 2,..., b m - фиксированные числа, называемые свободными членами.
Если все свободные члены в системе линейных уравнений равны нулю, то система линейных уравнений называется однородной.
Определение 2. Решением системы линейных уравнений (1) называется такой упорядоченный набор n чисел 
, при подстановке которыхв каждое из уравнений системы вместо соответственно неизвестных x1, x2,..., xn каждое из уравнений системы превращается в истинное числовое равенство.
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и называется несовместной, если она не имеет решений. Совместная система называется определенной, если она имеет одно решение, и называется неопределенной, если она не имеет решений.
Пусть S1, S2 системы линейных уравнений с одним и тем же числом неизвестных, X1, X2 - множества их решений соответственно.
Определение 3. Говорят, что система линейных уравнений S2 следствие системы S1 и S2, если каждое решение системы S1 является решением системы S2,т.е. 
. Обозначаем 
.
Определение 4. Говорят, что системы S1 и S2 равносильны, если каждое решение системы S1 является решением системы S2 и каждое решение системы S2 является решением системы S1, т.е. 
. Обозначаем 
.
Отношение следования и равносильности обладают следующими свойствами.
1. Если и 
, то 
(транзитивность).
Действительно, если и , то по определению 3 
и 
Отсюда по свойству включения 
и по определению .
2. 
(рефлексивность).
3. Если , то 
- (симметричность).
4. Если и 
, то 
- (транзитивность).
Свойства 2, 3, 4 доказываются аналогично.
Элементарные преобразования системы линейных уравнений.
Определение 5. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются ее следующие преобразования:
1) перестановка любых двух уравнений местами;
2) умножение обеих частей одного уравнения на любое число 
;
3) прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число k;
(при этом все остальные уравнения остаются неизменными).
Нулевым уравнением называем уравнение следующего вида:
.
Теорема 1. Любая конечная последовательность элементарных преобразований и преобразование вычеркивание нулевого уравнения переводит одну систему линейных уравнений в равносильную ей другую систему линейных уравнений.
Доказательство. В силу свойства 4 предыдущего пункта достаточно доказать теорему для каждого преобразования отдельно.
1. При перестановке уравнений в системе местами сами уравнения неизменяются, поэтому по определению полученная система равносильная первоначальной.
2. В силу первой части доказательства достаточно доказать утверждение для первого уравнения. Умножим первое уравнение системы (1) на число , получим систему
(2)
Пусть 
решение системы (1). Тогда числа 
удовлетворяют всем уравнениям системы (1). Так как все уравнения системы (2) кроме первого совпадают с уравнениями системы (1), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (1), то имеет место верное числовое равенство:
. (3)
Умножая его на число k,получим верное числовое равенство:
, (4)
т.о. устанавливаем, что решение системы (2).
Обратно, если решение системы (2), то числа удовлетворяют всем уравнениям системы (2). Так как все уравнения системы (1) кроме первого совпадают с уравнениями системы (2), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (2), то справедливо числовое равенство (4). Разделив обе его части на число ,получим числовое равенство (3) и доказываем, что решение системы (1).
Отсюда по определению 4 система (1) равносильна системе (2).
3. В силу первой части доказательства достаточно доказать утверждение для первого и второго уравнения системы. Прибавим к обеим частям первому уравнению системы соответствующие части второго умноженные на число k, получим систему
(5)
Пусть решение системы (1). Тогда числа удовлетворяют всем уравнениям системы (1). Так как все уравнения системы (5) кроме первого совпадают с уравнениями системы (1), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (1), то имеют место верные числовые равенства:
, (6)
. (7)
Прибавляя почленно к первому равенству второе, умноженное на число k получим верное числовое равенство:
. (8)
Обратно, если решение системы (5), то числа удовлетворяют всем уравнениям системы (5). Так как все уравнения системы (1) кроме первого совпадают с уравнениями системы (5), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (5), то справедливо числовое равенство (8). Вычитая из обеих его частей соответствующие части равенства (7) умноженные на число k получим числовое равенство (6).
Отсюда по определению 4 система (1) равносильна системе (5).
4. Так как нулевому уравнению удовлетворяет любой упорядоченный набор из n чисел, то при вычеркивании нулевого уравнения в системе получим систему равносильную исходной.
Теорема доказана.
Ступенчатая матрица.
Определение 6. Матрицей размерности 
называется прямоугольная таблица
содержащая mn чисел, расположенных в m строк и n столбцов, числа 
называются элементами матрицы. Если 
, то матрица называется квадратной матрицей порядка m. Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой матрицей. Элементы a ii называются элементами главной диагонали.
Определение 7. Матрицей ступенчатого вида называется такая матрица, которая обладает свойствами:
1) в каждой строке матрицы имеется неравный нулю элемент;
2) в каждой строке матрицы, начиная со второй, первый слева неравный нулю элемент расположен правее первого слева неравного нулю элемента предыдущей строки матрицы.
Матрицу ступенчатого вида называют также трапециидальной матрицей, а квадратную матрицу ступенчатого вида называют треугольной матрицей. Ниже показаны две не ступенчатые матрицы и три ступенчатые матрицы (последняя матрица треугольная).
, 
, 
, 
, 
.
Определение 8. Элементарными преобразованиями строк матрицы называются следующие ее преобразования:
1) перестановка любых двух строк матрицы местами;
2) умножение одной строки матрицы на любое число 
;
3) прибавление к одной строке матрицы другой ее строки умноженной на любое число k;
(при этом все остальные строки матрицы остаются неизменными).
Аналогично можно рассматривать элементарные преобразования столбцов матрицы.
Теорема 2. Любую ненулевую матрицу конечным числом элементарных преобразований и преобразований вычеркивания нулевой строки можно привести к матрице ступенчатого вида.
Доказательство. Доказательство проводим методом математической индукции по числу m строк матрицы. Для m= 1 утверждение теоремы справедливо, так как ненулевая однострочная матрица по определению имеет ступенчатый вид.
Предположим, что утверждение теоремы доказано для матриц, имеющих m -1 строку и докажем его для матриц, в которых содержится m строк. Пусть первый слева отличный от нуля столбец данной матрицы имеет номер k, так как матрица ненулевая, то такой столбец найдется, и матрица имеет вид:
.
Можем считать, что элемент 
, в противном случае строки матрицы можно переставить. Прибавим ко второй строке матрицы первую, умноженную на число 
, к третьей - первую, умноженную на 
и т.д., к m -й - первую, умноженную на 
. После этих преобразований матрица примет вид:
. (9)
Рассмотрим матрицу, состоящую из последних m -1 строк матрицы (9):
. 10)
Если матрица (10) нулевая, то все строки в матрице (9) кроме первой нулевые. Вычеркивая их, приходим к матрице ступенчатого вида. Если матрица (10) ненулевая, то по индуктивному предположению конечным число элементарных преобразований и преобразований вычеркивания нулевой строки может быть приведена к матрице ступенчатого вида: 
,
где элементы 
и 
не равны нулю. Тогда соответствующими преобразованиями строк матрица (9) преобразуется в матрицу ступенчатого вида:
; (11)
элементы 
, ,..., не равны нулю. Теорема доказана.
4. Метод Гаусса. С истеме линейных уравнений (1) соответствуют три матриц
, 
.
Первая матрица называется матрицей системы, вторая - расширенной или присойдиненной матрицей системы, третья - столбцом свободных членов.
Система линейных уравнений называется системой ступенчатого вида, если расширенная матрица системы есть матрица ступенчатого вида. Неизвестные с коэффициентами неравными нулю, которые стоят первыми в уравнениях системы ступенчатого вида называются главными неизвестными, а остальные неизвестные называются свободными.
Линейное уравнение, в котором все коэффициенты равны нулю, а свободный член не равен нулю, т.е. уравнение вида:
,
не имеет решений. Действительно, если - решение этого уравнения, то получим 
противоречие с условием. Такое уравнение называем противоречивым.
Пусть не все уравнения системы (1) нулевые. Тогда и расширенная матрица системы (1) ненулевая. По теореме 2 ее можно конечным числом элементарных преобразований и преобразований выбрасывания нулевой строки можно привести к матрице ступенчатого вида. Полученной матрице соответствует система линейных уравнений ступенчатого вида. Этим преобразованиям расширенной матрицы системы (1) соответствуют такие же преобразования системы линейных уравнений (1). По теореме 1 они переводят систему (1) в равносильную систему линейных уравнений, которая будет являются системой ступенчатого вида.
Таким образом мы доказали первую часть следующей теоремы.
Теорема 3. Любую систему линейных уравнений, содержащую ненулевое уравнение конечным числом элементарных преобразований и преобразований вычеркивания нулевого уравнения можно привести к равносильной ей системе ступенчатого вида. При этом возможны следующие три случая.
1. Если в полученной системе линейных уравнений ступенчатого вида есть противоречивое уравнение, то данная система не имеет решений.
2. Если в полученной системе линейных уравнений ступенчатого вида нет противоречивого уравнения и число уравнений в полученной системе равно числу неизвестных, то данная система имеет единственное решение.
3. Если в полученной системе линейных уравнений ступенчатого вида нет противоречивого уравнения и число уравнений в полученной системе меньше числа неизвестных, то данная система имеет бесконечно много решение.
Доказательство. Пусть дана система (1), содержащая ненулевое уравнение. По выше доказанному, она конечным числом элементарных преобразований она может быть преобразована к равносильной ей системе уравнений ступенчатого вида. Возможны случаи.
В полученной системе ступенчатого вида есть противоречивое уравнение. Тогда ни один набор чисел 
не удовлетворяет системе, и система (1) не имеет решений.
В полученной системе ступенчатого вида нет противоречивого уравнения. Тогда в каждом из уравнений системы ступенчатого вида содержится главное неизвестное. Отсюда получаем, что число главных неизвестных, а тем более число всех неизвестных, не менее числа уравнений в системе ступенчатого вида. Тогда возможны под случаи:
В системе ступенчатого вида число уравнений равно числу неизвестных, т. е. система имеет вид:
(12)
где 
Все неизвестные в системе являются главными. Из последнего уравнения находим единственное значение для неизвестного 
: 
. Подставляя найденное значение 
в предпоследнее уравнение, находим для неизвестного 
единственное значение 
и т.д. Наконец из первого уравнения по найденным значениям неизвестных 
из первого уравнения находим единственное значение неизвестного 
. Таким образом, система (12), а поэтому и система (1) имеет единственное решение.
В системе ступенчатого вида число уравнений меньше числа неизвестных. В этом случае матрица полученной системы имеет вид (11), а
систему можно записать в виде:
(13)
где 
В этой системе r главных неизвестных 
, все остальные 
свободные (в системе они обзначены точками. Возьмем для свободных неизвестных произвольные значения. Тогда значения главных неизвестных 
найдутся однозначно из системы (13). Так как главные неизвестные можно выбрать бесконечным числом способов, то получим, что система (13), а поэтому и система (1) имеет бесконечно много решений.
Теорема доказана.
Следствие. Если в системе однородных уравнений число неизвестных больше числа уравнений, то система имеет бесконечно много решений.
Действительно, система однородных уравнений всегда имеет нулевое решение 
, и при приведении ее к ступенчатому виду всегда получим систему, в которой число неизвестных больше числа уравнений.
Метод исследования и решения систем линейных уравнений, изложенный в доказательстве теорем 3 называется методом Гаусса.
Пример 1. Решить систему
Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду:
.
Составим по полученной матрице ступенчатого вида систему линейных уравнений ступенчатого вида:
В полученной системе число уравнений равно числу неизвестных и полученная система имеет единственное решение, которое двигаясь вверх последовательно находим:
Решение системы 
.
Пример 2. Решить систему
Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду:
Соответствующая система имеет противоречивое уравнение. Поэтому данная система не имеет решений.