План лекции
9.1. Идеальный газ во внешнем поле.
9.2. Число соударений между молекулами и средняя длина свободного пробега молекул.
9.3. Явления переноса. Коэффициент переноса. Ультраразреженные газы
Идеальный газ во внешнем поле
Если идеальный газ находится в силовом поле, то давление будет меняться от точки к точке, так как на молекулы газа действуют внешние силы. Рассмотрим наиболее простой случай, когда силы поля направлены в одну сторону, допустим вдоль оси Х.
Возьмем две площадки единичной площади, расположенных на расстоянии dx; на эти площадки будет оказываться давление, которое равно соответственно Р и Р + dР (рис.9.1).
Рис.9.1
Разность давлений dP равняется суммарной силе, действующей на частицы в объеме Sdx (S =1 м³), т.е.
dP = nFdx (9.1)
где, n – объемная плотность молекул;
F – сила, действующая на одну молекулу с координатой х.
Сила F связана с потенциальной энергией Еп
(9.2)
После подстановки (9.2) в (9.1) получим
(9.3)
Для идеального газа Р = nkТ. Предполагая, что Τ = соnst
(9.4)
Проинтегрировав обе части равенства (9.4) получаем
(9.5)
учитывая, что n0 – объемная плотность молекул в точке где Еn = 0, получим
(9.6)
Полученная формула устанавливает связь изменения объемной плотности газа с потенциальной энергией его молекул и называется формулой Больцмана.
Если (9.6) умножить на kТ, получим уравнение для расчета давления
(9.7)
В поле тяжести Земли на высоте h молекула массой m0 обладает потенциальной энергией Еп= m0gh
(9.8)
Уравнение (9.8) называется барометрической формулой.
Подставив вместо 
и m0Na = M, получим для барометрической формулы:
(9.9)
График зависимости давления газаот высоты Р(h) представлен на рис.9.2.
Рис.9.2
Чем больше молекулярная масса, тем быстрее давление убывает с высотой. Поэтому с увеличением высоты атмосфера обогащается легкими парами.
Число соударений между молекулами и средняя длина свободного пробега молекул
В результате хаотического движения молекулы газа непрерывно сталкиваются друг с другом. Вычислим число соударений между молекулами для идеального газа. Для этого будем рассматривать молекулы, как упругие шарики диаметром d, которые движутся со средней скоростью < u >. За единицу времени молекула на своем пути заденет другие молекулы, которые находятся в цилиндре диаметром 2 d т.е. в объеме π d 2< u > (рис.9.3).
Соответственно количество столкновений Z равно
(9.10)
где, n – количество молекул в единице объема, концентрация молекул.
Рис.9.3
Если учесть, что все молекулы движутся, то число соударений увеличивается в 
(9.11)
Надо отметить, что молекулы при каждом столкновении изменяет свое направление и движется не в таком прямом цилиндре, а в системе соединенных под разными углами цилиндров.
Среднее расстояние, проходимое молекулой между двумя последовательными соударениями называется средней длиной свободного пробега < λ >
(9.12)
При T = const концентрация молекул n пропорциональна давлению Р. Следовательно
(9.13)
Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется э ффективным диаметром (рис.9.4).
d
Рис.9.4
Эффективный диаметр зависит от скорости сталкивающихся молекул, т.е. от температуры газа.
Явления переноса. Коэффициент переноса. Ультраразреженные газы
Переход идеального газа из неравновесных состояний в равновесное происходит благодаря явлениям переноса:
- теплопроводности или переноса энергии;
- диффузии или переноса массы;
- внутреннего трения или переноса импульса (количества движения).
Теплопроводность веществ имеет большое значение в строительстве. Поэтому процесс переноса энергии молекулами идеального газа рассмотрим более детально.
Пусть в разных точках сосуда, заполненного идеальным газом, вдоль оси Х температуры различны и равны соответственно Т 1 и Т 2. Тогда молекулы со средней энергией 
начнут двигаться в сторону меньшей температуры. Количество молекул, которое проходит за время dt через площадку Δ S перпендикулярную к оси Х будет равно
(9.14)
Это количество молекул перенесет с собой энергию в положительном направлении оси Х
(9.15)
В противоположном направлении переносится энергия
(9.16)
где i – число степеней свободы,
< u > – средняя арифметическая скорость теплового движения молекул.
Процесс передачи энергии в форме теплоты dQ получим, если из уравнения (9.16) вычтем (9.15) и умножим результат на 
(9.17)
Обозначив 2<λ> вдоль оси Х через ∆ х, перепишем уравнение (9.17) иначе
(9.18)
При Δ х → 0 
можно заменить через градиент температуры 
и тогда уравнение (9.18) примет вид
(9.19)
где 
– коэффициент теплопроводности. Знак минус означает, что перенос энергии происходит в сторону убывания температуры.
После соответствующих преобразований коэффициент теплопроводности можно выразить через удельную теплоемкость при постоянном объеме Сх и плотность ρ.
(9.20)
Формула (9.19) выражает закон Фурье: поток теплоты, проходящий через единицу площади за единицу времени, прямо пропорционален градиенту температуры.
Явление диффузии или перенос массы заключается в самопроизвольном проникновении и перемешивании частиц соприкасающихся газов, жидкостей и даже твердых тел. Если концентрация (плотность ρ) частиц в разных точках пространства неодинаковы, то в результате теплового движения частиц происходит процесс выравнивания концентрацией (плотностей), сопровождающийся переносом массы.
Проведем аналогичные рассуждения, как и при выводе уравнения теплопроводности. Перенос массы dМ вдоль оси Х прямо пропорционален градиенту плотности 
диффундирования газа через площадку площадью ∆ S перпендикулярную оси Х.
(9.21)
Перенос массы вещества подчиняется закону Фурье[1]: масса вещества m, переносимая через единицу площади за единицу времени прямо пропорциональна градиенту плотности
(9.22)
где, D – коэффициент диффузии. Знак минус означает, что перенос происходит в сторону убывания плотности. Исходя из кинетической теории газов, коэффициент диффузии можно связать со средней арифметической скоростью теплового движения < u > и средней длиной свободного пробега < λ >
(9.23)
Перенос импульса или внутренне трение (вязкость) можно объяснить, исходя из молекулярно-кинетической теории газов. Если скорость в потоке газа меняется от слоя к слою, то взаимодействие соседних слоев осуществляется путем передачи некоторого импульса (количества движения). В результате теплового движения из слоя в слой молекулы переносят импульс, выравнивая скорости слоев. Иначе говоря, между двумя слоями возникает сила внутреннего трения. Формула этой силы известна из механики и называется формулой Ньютона
(9.24)
или
(9.25)
где ƒ – сила внутреннего трения, действующая на единицу площади поверхности слоя.
Знак минус указывает на то, что сила внутреннего трения противоположна по направлению градиенту скорости 
.
Вязкость вычисляется по формуле
(9.26)
где, ρ – плотность газа;
< u > – средняя скорость теплового движения молекул;
< λ > – средняя длина свободного пробега молекул.
При изучении явлений переноса мы, в основном, исходили из кинетической теории газов. Сильно разреженные газы также подчиняются кинетической теории, но все явления переноса в них протекают по-иному.
Рассмотрим, что происходит при уменьшении давления газа с коэффициентами теплопроводности, диффузии, вязкости:
, 
, .
При T = const (< u > = const) разрежение газа уменьшает плотность ρ и увеличивает среднюю длину свободного пробега <λ>. При этом ρ < λ > = const. Следовательно, коэффициенты теплопроводности и вязкости остаются неизменными, а диффузия увеличивается.
При разрежении газа длина свободного пробега <λ> становится соизмеримой с линейными размерами сосуда ℓ. Такое состояние газа называется вакуумом.
При <λ> ≥ ℓ газ высокого вакуума называется ультраразреженным.
При <λ> = const и коэффициенты ведут себя как показано на графике (рис.9.5).
Коэффициент ℓ=<λ > - разрежение
Коэффициент
Рис.9.5
Дальнейшая откачка (понижение давления) влечет за собой убывание коэффициента теплопроводности, что используется в термосах, в современных электронных приборах.
[1] Фурье (Fourier) Жан Батист Жазеф (1768-1830) – французский математик и физик.