Раздел 5. Основные понятия дискретной математики. Теория вероятности
Тема 5.3. Элементы теории вероятности
План
1. Основы теории вероятности
2. Теоремы сложения и умножения вероятностей
3. Формула полной вероятности
4. Повторение испытаний. Формула Бернулли
Основы теории вероятностей
Теория вероятностей – это раздел математики изучающий закономерности массовых случайных событий.
Изучение каждого явления в порядке наблюдения или производства опыта связанно с осуществлением некоторого комплекса условий (испытаний). Всякий результат или исход испытания называется событием.
Опр. Если событие при заданных условиях может произойти или не произойти, то оно называется случайным.
Опр. В том случае, когда событие непременно должно произойти, то оно называется достоверным, а в том случае, когда оно заведомо не может произойти – невозможным.
Опр. События называются несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них.
Опр. События называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появления другого при том же испытании.
Опр. События называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь единственным его исходами, несовместны.
Вероятность события рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события.
Классическое определение вероятности:
Вероятностью события А называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события А, к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т. е.
Вероятность любого события не может быть меньше нуля и больше 1, т. е. 
Невозможному событию соответствует вероятность 
а достоверному – вероятность 
Пример 1
В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?
Общее число различных исходов есть n = 1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m = 200. Согласно формуле
P 
, получим: 
Ответ: вероятность выигрыша 0,2 или 20%.
Теоремы сложения и умножения вероятностей
Теорема сложения вероятностей несовместных событий: Вероятность одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого равна сумме вероятностей этих событий: 
Теорема сложения вероятностей совместных событий:
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: 
Событие, противоположное событию А (т.е. ненаступление события А), обозначают через 
Сумма вероятностей двух противоположных событий равна 1. 
= 1
Опр. Вероятность наступления события А, вычисленная в предположении, что событие В уже произошло, называется условной вероятностью события А при условии В и обозначается 
(читается: вероятность от А при условии В). Если А и В – независимые события, то:
Опр. События А, В, С – называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меряется в связи с наступлением или ненаступлением других событий по отдельности или в любой их комбинации.
Пример 2
Всего имеется 90 двузначных чисел: 10, 11, 12, 13, …., 98, 99. Из них 30 являются кратным 3, 18 – кратным 5 и 6 – кратным одновременно 3 и 5. Найти вероятность того, что наугад выбрано число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.
Пусть событие А – выбранное число кратно 3, событие В – выбранное число кратно 5, событие АВ – выбранное число кратно 3 и 5.
т.к. события А и В совместные, то
Ответ: Вероятность равна 0,47 или 47%.
Теорема умножения вероятностей независимых событий:
Вероятность совместного появления (или произведения) двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
Теорема умножения вероятностей зависимых событий:
Вероятность совместного появления (или произведения) двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие осуществилось.
Пример 3
В группе из 20 студентов 5 студентов не подготовили задание. Какова вероятность того, что два первых студента, вызванные наугад, будут не готовы к ответу.
Вероятность того, что 1 студент не готов к ответу, 
вероятность того, что и 2 студент также не готов, как и первый, 
Ответ: вероятность того, что два первых студента, вызванные наугад, будут не готовы к ответу – 5%.