Линейные операции над матрицами

МАТРИЦЫ

1.Основные определения.

Определение. Матрицей структуры m´n, где m- число строк, n- число столбцов, называется прямоугольная таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a_ij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

А =

Пример: A= . Матрица имеет структуру 2´3, a₁₁=1, a₁₂=0, a₁₃=-2, a₂₃=8

Определение. Матрицы называются равными, если они имеют одинаковую структуру и у них равны соответствующие элементы

Типы матриц

Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

Пример: A= -матрица столбец, B=(24567)-матрица строка, C=(5)

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

Для квадратной матрицы вводится понятие определитель матрицы, обозначается (А), det(A)

Определение. Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей. У нее равны 0 все элементы, кроме тех, что стоят на главной диагонали, то есть a_ij≠0 только, если i=j

Определение. Диагональная матрица вида: = E,

называется единичной матрицей. Она может иметь любой размер.

Пример: E₂= , E₃= и так далее.

Определение. Если a_mn = a_nm, то матрица называется симметрической.

Пример. - симметрическая матрица

Линейные операции над матрицами

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинаковой структуры. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц A и B называется матрица C, имеющая ту же структуру, что и матрицы-слагаемые, элементами которой являются соответственно сумма (разность) соответствующих элементов исходных матриц.

c_ij = a_ij ± b_ij

С = А + В = В + А.

Определение.

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

Пример. Даны матрицы А= ; B = , найти 2А + В.

2А = , 2А + В = .

4.Операция умножения матриц.

Операция умножения матриц A и B определена только в том случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Результат операции - матрица С, у которой столько строк сколько у первой и столько столбцов сколько у второй, то есть

Определение: Произведением матрицы А на матрицу B называется матрица C, элементы которой могут быть вычислены по следующему правилу: C_ij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А и j-ого столбца матрицы B.

ВАЖНО! Операция умножения матриц не подчиняется переместительному закону умножения, т.е. АВ ¹ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются коммутативными (перестановочными).

Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.

А×Е = Е×А = А

Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство: A×O = O; O×A = O, где О – нулевая матрица.

Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detA×detB.

Пример. Найти произведение матриц АВ = × = . ВА = × = (2×1 + 4×4 + 1×3) = (21).

Пример. Найти произведение матриц А= , В =

АВ = × = = .

5. Транспонирование

Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

А = ; В = A^Т= ;

Пример. Даны матрицы А = , A^T = ;