Модуль «Реальная математика»

Задание 4

Решите уравнение 10 x +9=7 x

Решение

Перенесем 7х в левую часть уравнения, а 9 в правую, поменяв при этом знаки. Получим уравнение

10х-7х= -9. Приведем подобные 3х=-9. Отсюда х=-9:3х=-3.

Ответ: -3

Задание 5

Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и фор­му­ла­ми, ко­то­рые их за­да­ют.

 

А)

Б)

В)

 

1)

2)

3)

4)

 

Ответ ука­жи­те в виде по­сле­до­ва­тель­но­сти цифр без про­бе­лов и за­пя­тых в ука­зан­ном по­ряд­ке.

 

А	Б	В

Ре­ше­ние.

Вы­де­лим во всех вы­ра­же­ни­ях пол­ный квад­рат:

1) Ветви па­ра­бо­лы на­прав­ле­ны вверх, вер­ши­на па­ра­бо­лы на­хо­дит­ся в точке Такой гра­фик изоб­ражён на ри­сун­ке Б).

2) Ветви па­ра­бо­лы на­прав­ле­ны вниз, вер­ши­на па­ра­бо­лы на­хо­дит­ся в точке Такой гра­фик изоб­ражён на ри­сун­ке В).

3) Ветви па­ра­бо­лы на­прав­ле­ны вверх, вер­ши­на па­ра­бо­лы на­хо­дит­ся в точке Та­ко­го гра­фи­ка нет среди пред­став­лен­ных.

4) Ветви па­ра­бо­лы на­прав­ле­ны вниз, вер­ши­на па­ра­бо­лы на­хо­дит­ся в точке Такой гра­фик изоб­ражён на ри­сун­ке А).

 

Ответ: 412.

 

Задание 6

Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: − 3; 1;
5; … Найдите сумму первых шестидесяти её членов.

Решение

Найдем разность арифметической прогрессии:d= 1-(-3)=4. Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии

S_n = n.Число членов арифметической прогрессииn=60.

 

Найдем сумму 60-и её членовS_{60 = 60 =6900}

_{Ответ: 6900}

Задание 7

Найдите значение выражения - при a = − 12.

Решение

- = - = = = при a = − 12

= = 0,25

Задание 8

На каком рисунке изображено множество решений системы неравенств

Решение

Решим второе неравенство x>4

Получили систему

Ответ: решений нет (2)

Модуль «Геометрия»

Задание 9 Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.

Решение

SΔ= Основание треугольника a=32+10=42Высота треугольника h=24

 

SΔ= =21.24=504

 

Ответ:504

Задание 10

Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 6.

Решение

Соединим т.О с т.А и центр окружности с точками касания лучей с окружностью. Получим треугольни ОВА и ОСА. Эти треугольники прямоугольные. И равные. Р. Угол ОВА=углу ОСА = 90^0.ОС=ОВ, как радиусы одной окружности, сторона ОА общая. По признаку равенства прямоугольных треугольников ОВС=ΔОСА, значит ОА-биссектриса угла САВ. значит∟ОАВ=∟ОАС=30⁰ . В прямоугольном треугольнике, против угла в 30 градусов, лежит катет равный половине гипотенузы. Значит ОВ= =3

Ответ: 3

Задание 11

В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании. Найдите большее основание.

Решение

Обозначим вершины трапеции. Опустим высоту из угла С на сторону AD. Т.к. трапеция равнобедренная и угол А 45 ⁰ ,то и угол АВК тоже 45⁰ , т.е. Δ АКВ равнобедренный, прямоугольный, значит АК=5. Δ АКВ=ΔCND? Отсюда следует, чтоND=5.KN=AD+AK+ND=16

 

Ответ:16

Задание 12

Найдите тангенс угла В треугольника ABC, изображённого на рисунке.

 

Решение

По определению тангенсом угла назыаается отношение противолежащего катета и прилежащему

= =3,5

Ответ: 3,5

Задание 13 (решено не­вер­но или не решено)

Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

 

1) Через любые три точки про­хо­дит не более одной окруж­но­сти.

2) Если рас­сто­я­ние между цен­тра­ми двух окруж­но­стей боль­ше суммы их диа­мет­ров, то эти окруж­но­сти не имеют общих точек.

3) Если ра­ди­у­сы двух окруж­но­стей равны 3 и 5, а рас­сто­я­ние между их цен­тра­ми равно 1, то эти окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся.

4) Если дуга окруж­но­сти со­став­ля­ет 80°, то впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на эту дугу окруж­но­сти, равен 40°.

 

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Через любые три точки про­хо­дит не более одной окруж­но­сти.» — верно, Через любые три точки, не ле­жа­щие на одной пря­мой, про­хо­дит един­ствен­ная окруж­ность. Если точки лежат на одной пря­мой, то окруж­ность про­ве­сти не­воз­мож­но. Тем самым, через любые три точки можно про­ве­сти не более одной окруж­но­сти.

2) «Если рас­сто­я­ние между цен­тра­ми двух окруж­но­стей боль­ше суммы их диа­мет­ров, то эти окруж­но­сти не имеют общих точек.» — верно, если рас­сто­я­ние от цен­тра до пря­мой мень­ше ра­ди­у­са, то окруж­но­сти имеют две общие точки, если окруж­но­сти ка­са­ют­ся то окруж­но­сти имеют одну общую точку, если рас­сто­я­ние боль­ше ра­ди­у­са, то окруж­но­сти не имеют общих точек.

3) «Если ра­ди­у­сы двух окруж­но­стей равны 3 и 5, а рас­сто­я­ние между их цен­тра­ми равно 1, то эти окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся» — не­вер­но, окруж­ность, ра­ди­ус ко­то­рой равен 3, лежит внут­ри окруж­но­сти с ра­ди­у­сом 5.

4) «Если дуга окруж­но­сти со­став­ля­ет 80°, то впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на эту дугу окруж­но­сти, равен 40°.» — верно, впи­сан­ный угол из­ме­ря­ет­ся по­ло­ви­ной дуги,на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся.

 

Ответ: 1; 2; 4.

Модуль «Реальная математика»

Задание 14 (решено не­вер­но или не решено)

В таб­ли­це даны ре­зуль­та­ты за­бе­га маль­чи­ков 8 клас­са на ди­стан­цию 60 м. Зачет вы­став­ля­ет­ся при усло­вии, что по­ка­зан ре­зуль­тат не хуже 10,5 с.

 

Номер до­рож­ки	I	II	III	IV
Время (в с)	10,3	10,6	11,0	9,1

 

Ука­жи­те но­ме­ра до­ро­жек, по ко­то­рым бе­жа­ли маль­чи­ки, по­лу­чив­шие зачет.

 

1) I, IV

2) II, III

3) толь­ко III

4) толь­ко IV

Ре­ше­ние.

Маль­чи­ки, бе­жав­шие по до­рож­кам I и IV по­ка­за­ли время, не­об­хо­ди­мое для зачёта, их ре­зуль­тат не пре­вы­ша­ет 10,5 с.

 

Пра­виль­ный ответ указа­н под но­ме­ром 1.

 

Задание 15 (решено не­вер­но или не решено)

В таб­ли­це при­ве­де­на сто­и­мость работ по по­крас­ке по­тол­ков.

 

Цвет по­тол­ка	Цена в руб­лях за 1 м2 (в за­ви­си­мо­сти от пло­ща­ди по­ме­ще­ния)
до 10 м2	от 11 до 30 м2	от 31 до 60 м2	свыше 60 м2
белый
цвет­ной

 

Поль­зу­ясь дан­ны­ми, пред­став­лен­ны­ми в таб­ли­це, опре­де­ли­те, ка­ко­ва будет сто­и­мость работ, если пло­щадь по­тол­ка 40 м², по­то­лок цвет­ной и дей­ству­ет се­зон­ная скид­ка в 10%. Ответ ука­жи­те в руб­лях.

Ре­ше­ние.

При пло­ща­ди квар­ти­ры 40 м² цена за по­крас­ку 1 м² по­тол­ка со­ста­вит 90 руб­лей. Зна­чит, сто­и­мость за­ка­за без учёта скид­ки 90 · 40 = 3600 руб. Скид­ка со­став­ля­ет 0,1 · 3600 = 360 руб. Таким об­ра­зом, сто­и­мость за­ка­за с учётом скид­ки со­ста­вит 3600 − 360 = 3240 руб.

 

Ответ: 3240.

Задание 16 (решено не­вер­но или не решено)

По­сту­пив­ший в про­да­жу в ап­ре­ле мо­биль­ный те­ле­фон стоил 4000 руб­лей. В сен­тяб­ре он стал сто­ить 2560 руб­лей. На сколь­ко про­цен­тов сни­зи­лась цена на мо­биль­ный те­ле­фон в пе­ри­од с ап­ре­ля по сен­тябрь?
Ре­ше­ние.

Цену на те­ле­фон сни­зи­ли на 4000 − 2560 = 1440 руб­лей. Раз­де­лим 1440 на 4000:

 

 

Зна­чит, цену сни­зи­ли на 36%.

 

Ответ: 36.

Задание 17 (решено не­вер­но или не решено)

Опре­де­ли­те вы­со­ту дома, ши­ри­на фа­са­да ко­то­ро­го равна 6 м, вы­со­та от фун­да­мен­та до крыши равна 4 м, а длина ската крыши равна 5 м.

Ре­ше­ние.

Крыша дома имеет форму рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка. Вы­со­та этого тре­уголь­ник яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной и равна

 

Вы­со­та всего дома равна длине вы­со­ты крыши и вы­со­ты фун­да­мен­та до крыши. Таким об­ра­зом вы­со­та дома равна: 4 + 4 = 8 м.

 

Ответ: 8.

 

Задание 18 (решено не­вер­но или не решено)

В ма­га­зи­не про­да­ют­ся фут­бол­ки пяти раз­ме­ров: XS, S, M, L и XL. Дан­ные по про­да­жам в июле пред­став­ле­ны на кру­го­вой диа­грам­ме.

Какие утвер­жде­ния от­но­си­тель­но про­дан­ных в июле фут­бо­лок не­вер­ны, если всего в июле было про­да­но 180 таких фут­бо­лок?

1) Фут­бо­лок раз­ме­ра L было про­да­но более чем в три раза боль­ше, чем фут­бо­лок раз­ме­ра XS.

2) Фут­бо­лок раз­ме­ра S было про­да­но более 45 штук.

3) Боль­ше всех про­дан­ных фут­бо­лок — фут­бол­ки раз­ме­ра M.

4) Боль­ше всего было про­да­но фут­бо­лок раз­ме­ра S.

Ре­ше­ние.

Про­ана­ли­зи­ру­ем каж­дое утвер­жде­ние, ис­поль­зуя дан­ные, пред­став­лен­ные на диа­грам­ме.

1) Сек­тор, со­от­вет­ству­ю­щий фут­бол­кам раз­ме­ра L, в три раза боль­ше сек­то­ра,со­от­вест­ву­ю­ще­го фут­бол­кам раз­ме­ра XS. По­это­му фут­бо­лок раз­ме­ра L про­да­но в 3 раза боль­ше, чем фут­бо­лок раз­ме­ра L. Пер­вое утвер­жде­ние верно.

2) Сек­тор, со­от­вет­ству­ю­щий фут­бол­кам раз­ме­ра S, за­ни­ма­ет при­мер­но чет­верть круга. По­сколь­ку всего было про­да­но 180 фут­бо­лок, фут­бо­лок раз­ме­ра S было про­да­но при­мер­но штук. Вто­рое утвер­жде­ние не­вер­но.

3) Сек­тор, со­от­вет­ству­ю­щий фут­бол­кам раз­ме­ров M, за­ни­ма­ет более чет­вер­ти круга, по­это­му более чет­вер­ти про­дан­ных фут­бо­лок — фут­бол­ки раз­ме­ра M. Тер­тье утвер­жде­ние верно.

4) Сек­тор, со­от­вет­ству­ю­щий фут­бол­кам раз­ме­ра S, мень­ше сек­то­ра, со­от­вет­ству­ю­ще­го фут­бол­кам раз­ме­ра M, по­это­му фут­бо­лок раз­ме­ра S про­да­но мень­ше, чем фут­бо­лок раз­ме­ра M. Четвёртое утвер­жде­ние не­вер­но.

 

Ответ: 24.

 

Задание 19 (решено не­вер­но или не решено)

В сред­нем на 147 ис­прав­ных дре­лей при­хо­дят­ся три не­ис­прав­ные. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что вы­бран­ная дрель ис­прав­на.

Ре­ше­ние.

Ко­ли­че­ство всех дре­лей равно 147 + 3 = 150. По­это­му, ве­ро­ят­ность того, что вы­бран­ная дрель ис­прав­на равна

 

Задание 20 (решено не­вер­но или не решено)

 

Пло­щадь четырёхуголь­ни­ка можно вы­чис­лить по фор­му­ле где и — длины диа­го­на­лей четырёхуголь­ни­ка, — угол между диа­го­на­ля­ми. Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те длину диа­го­на­ли если a

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим длину диа­го­на­ли из фор­му­лы для пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка:

 

 

Под­став­ляя, по­лу­ча­ем:

Ответ: 4.

Часть2