Механический смысл векторного произведения.

Геометрический смысл векторного произведения.

Другими словами, модуль векторного произведения векторов а, b численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах а, b.

Механический смысл векторного произведения.

Если вектор b является силой, приложенной к точке А, вектор а направлен из точки О в точку А, то векторное произведение векторов а, b равно моменту силы b относительно точки О.

Свойства векторного произведения.

1°. Для того чтобы два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нуль-вектору.

◄ Необходимость. Если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нуль- вектору согласно определению. Докажем достаточность. Если a х b = 0, то | a x b | = 0, т.е. | a | | b | sin р = 0, где р — угол между векторами а и b. Но тогда выполнено, по крайней ме­ре, одно из трех равенств: | а | = 0, | b | = 0 или sin р = 0. Каждое из этих равенств влечет коллинеарность векторов а и b. ►

Следующее свойство выражает геометрический смысл модуля векторного произведения.

2°. Если векторы а и b неколлинеарны, то модуль | а х b | их векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на смежных сторонах (рис. 3.4).

◄ Свойство объясняется тем, что модуль векторного произведения и площадь параллелограмма по двум смежным сторонам и углу между ними вычисляют по одной и той же формуле как произведение длин векторов (сторон параллелограмма) на синус угла между ними. ►

3°. Важнейшими свойствами векторного произведения являются следующие три:

- свойство антикоммутативности a x b = - b x a;

- свойство ассоциативности совместно с умножением на число

- ( a)x b = (a x b);

- свойство дистрибутивности относительно сложения:

(а + b)x c = a x c + b x c – правый дистрибутивный закон,

c x (а + b) = c x a + c x b –левый дистрибутивный закон.

Доказывая свойство антикоммутативности, заметим, что если векторы а и b коллинеарны, то в обеих частях равенства a x b = - b x a в соответствии со свойством 1° стоит нулевой вектор. Если же векторы а и b неколлинеарны, то существует плоскость, которой они параллельны. В силу первого условия определения векторного произведения векторы a x b и b x a перпен­дикулярны этой плоскости и, следовательно, коллинеарны. Ясно, что и длины векторов a x b и b x a равны, поскольку совпадают с площадью одного и того же параллелограмма (свойство 2°). Остается доказать, что векторы a x b и b x a имеют противоположное направление. Это следует из того, что если тройка векторов а, b, a x b правая, то тройка b, а, a x b — левая. Поэтому, заме­нив в последней тройке третий вектор на противоположный, получим правую тройку векторов b, а, -a x b, причем вектор — a x b коллинеарен вектору b x a и имеет ту же длину. Согласно определению, это означает, что вектор - a x b равен векторному произведению векторов b и

а, т.е. a x b =- b x a.

Свойство ассоциативности доказывается аналогично. В случае коллинеарных векторов а и b также при = 0 векторы ( a)x b и (a x b) равны нуль-вектору, поскольку каждый из них является или векторным произведением коллинеарных векторов, или произведением вектора на число, равное нулю. Следовательно, в рассматриваемых случаях равенство ( a)x b = (a x b) выполнено.

Предположим теперь, что векторы a и b неколлинеарны, а = 0. Покажем сначала, что в левой и правой частях доказываемого равенства стоят коллинеарные векторы, равные по длине. Действительно, если считать, что векторы a, b и a имеют общее начало, то пары a, b и a, b неколлинеарных векторов порождают одну и ту же плоскость, которой перпендикулярны их векторные произведения a x b и ( a)x b. Поэтому векторы (a x b) и ( a)x b коллинеарны. Вычисляя их длины, убеждаемся, что эти длины равны, так как

| (a x b)| = | | | a x b | = | | | a | | b | sin ,

где — угол между векторами a и b,

|( a)x b | = | a | | b | sin = | | | a | | b | sin = | | | a | | b | sin ,

где — угол между векторами a и b и использовано равенство sin = sin , выполненное при всех 0.

Два коллинеарных вектора, равные по длине, либо совпадают, либо являются противо­положными друг другу. Нам достаточно исключить последнюю возможность, доказав, что векторы ( a)x b и (a x b) являются однонаправленными.

Если > 0, то векторы a и a однонаправлены. Следовательно, векторы ( a)x b и a x b тоже являются однонаправленными. А поскольку векторы a x b,

(axb) тоже однонаправлены, то однонаправлены и векторы ( a)x b и

(axb).

Если < 0, то векторы a и a являются противоположно направленными. Следовательно, векторы ( a)x b и a x b тоже являются противоположно направленными. Умножение вектора a x b на отрицательное число меняет его направление на противоположное. Поэтому векторы ( a)x b и (a x b) имеют одинаковое направление.

Доказательство свойства дистрибутивности будет дано позже (см. 3.2).

Замечание 3.1. Доказанные свойства ассоциативности и дистрибутивности векторного произведения объединяют, аналогично случаю скалярного произведения, в свойство линей­ности векторного произведения относительно первого сомножителя. В силу свойства антикоммутативности векторного произведения векторное произведение линейно и относитель­но второго сомножителя:

a x( b) = -( b)x a = - (b x a) = (a x b),

a x(b + c) = - (b + c)x a = -(b x a + c x a) = a x b + a x c.

Пример 3.1. Найти площадь S треугольника, построенного на векторах

a = 3 c -2 d и b = c + d при условии, что | c | = 1, | d | = 4, а угол между векторами c и d равен 30°.

Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой

S = 0,5 | a x b |.

Используя алгебраические свойства векторного произведения, находим, что

a x b = (3 c -2 d)x (c + d) = 3 c x c + 3 c x d — 2 d x c — 2 d x d = 3 c x d + +2 c x d = 5 c x d. Поэтому

◄ S = 0,5 | a x b | = 0,5 |5 c x d | = 2,5 | c | | d | sin = 5.

◄