| Вариант 1 | Три точки лежат в каждой из двух различных плоскостей. Можно ли утверждать, что эти точки лежат на одной прямой? |
| Вариант 2 | Могут ли прямая и плоскость иметь только одну общую точку? |
| Вариант 3 | Могут ли прямая и плоскость иметь только две общие точки? |
| Вариант 4 | Можно ли через любые три точки провести единственную плоскость? |
| Вариант 5 | Верно ли утверждение: «Если прямая пересекает две смежные стороны квадрата, то она лежит в плоскости этого квадрата»? |
| Вариант 6 | Верно ли утверждение: «Если две точки окружности лежат в одной плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости»? |
| Вариант 7 | Верно ли утверждение: «Если две противоположные вершины параллелограмма лежат в одной плоскости, то и весь параллелограмм лежит в этой плоскости»? |
| Вариант 8 | Верно ли утверждение: «Если две прямые пересекаются в точке А, то все прямые, не проходящие через точку А и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости»? |
| Вариант 9 | Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек? |
| Вариант 10 | Верно ли, что любые четыре точки лежат в одной плоскости? |
Задание 2.
| Вариант 1 | Постройте точки пересечения прямой MN с плоскостями АВС и DD1C1.
|
| Вариант 2 | Постройте сечение, проходящее через точки B, M и D
|
| Вариант 3 | Постройте точки пересечения прямой MN с плоскостями АВС и А1В1C1.
|
| Вариант 4 | Постройте сечение, проходящее через точки Р, M и D
|
| Вариант 5 | Постройте сечение, проходящее через точки А, В1 и М
|
| Вариант 6 | Постройте точки пересечения прямой MN с плоскостями АВС и А1В1C1.
|
| Вариант 7 | Постройте сечение, проходящее через точки Р, М и N
|
| Вариант 8 | Постройте сечение, проходящее через точки А, М и С
|
| Вариант 9 | Постройте сечение, проходящее через точки М, N и Р
|
| Вариант 10 | Постройте сечение, проходящее через точки Р, М и N
|
Задание 3.
| Вариант 1 | Диагональ осевого сечения цилиндра равна  см, а радиус основания 3 см. Найдите высоту цилиндра.
|
| Вариант 2 | Площадь осевого сечения цилиндра равна 14 см2, а высота цилиндра - 2 см. Найдите радиус основания. |
| Вариант 3 | Боковая поверхность цилиндра равна  см2, радиус основания- 6 см. Найдите площадь осевого сечения.
|
| Вариант 4 | Найдите боковую поверхность цилиндра с высотой, равной 5 см, если осевое сечение цилиндра плоскостью - квадрат |
| Вариант 5 | Боковая поверхность цилиндра равна  см2, радиус основания- 7 см. Найдите площадь осевого сечения.
|
| Вариант 7 | Найдите боковую поверхность цилиндра с высотой, равной 3 см, если осевое сечение цилиндра плоскостью - квадрат |
| Вариант 8 | Боковая поверхность цилиндра равна  см2, радиус основания- 8 см. Найдите площадь осевого сечения.
|
| Вариант 9 | Боковая поверхность цилиндра равна  см2, радиус основания- 6 см. Найдите площадь осевого сечения.
|
| Вариант 10 | Площадь осевого сечения цилиндра равна 12 см2, а высота цилиндра - 2 см. Найдите радиус основания. |
Задание 4.
| Вариант 1 | Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60° и равна 4 см. Найдите площадь осевого сечения конуса |
| Вариант 2 | Радиус основания конуса равен 7 см, а высота- 8 см. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, параллельной основанию и находящейся на расстоянии 5 см от его вершины. |
| Вариант 3 | Найдите боковую поверхность конуса, в осевом сечении которого равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой  см.
|
| Вариант 4 | Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30° и равна 8 см. Найдите площадь осевого сечения конуса. |
| Вариант 5 | Радиус основания конуса равен 10 см, а высота- 15 см. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, параллельной основанию и находящейся на расстоянии 2 см от его вершины. |
| Вариант 6 | Радиусы оснований усеченного конуса равны 12 см и 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите высоту конуса. |
| Вариант 7 | Найдите боковую поверхность конуса, в осевом сечении которого равносторонний треугольник со стороной 6 см |
| Вариант 8 | Радиусы оснований усеченного конуса равны  см и  см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите высоту конуса.
|
| Вариант 9 | Найдите боковую поверхность конуса, в осевом сечении которого равносторонний треугольник со стороной 5 см |
| Вариант 10 | Радиусы оснований усеченного конуса равны 11 см и 5 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите высоту конуса |
Задание 5.
Заданы координаты точек А, В и С. Определить вид 
(равносторонний, равнобедренный, прямоугольный, разносторонний).
| Вариант | А | В | С |
| (5, -2, 3) | (1, 2, -1) | (3, 0, 1) | |
| (0, 7, 3) | (0, 7, 5) | (1, 8, 5) | |
| (4, 2, 1) | (5, 4, 6) | (6, -1, 4) | |
| (-5, 2, 0) | (-4, 3, 0) | (-5, 2, -2) | |
| (3, 5, 1) | (2, -1 4) | (-1, 3, 2) | |
| (-1, 0, -1) | (6, 0, -8) | (-1, 7, -8) | |
| (10, 4, 3) | (4, 0, 5) | (7, 2, 4) | |
| (2, 3, 4) | (1, 2, -1) | (3, -2, 1) | |
| (4, 7, 2) | (1, 2, -1) | (3, -2, 1) | |
| (2, 4, 7) | (5, 11, 4) | (6, 7, 1) |
Алгоритм решения:
Если А(х1, у1, z1), В(х2, у2, z2), то расстояние между точками А и В вычисляется по формуле:
Вычислим длины всех сторон треугольника, делаем вывод:
- если все три стороны равны между собой, то заданный треугольник равносторонний;
- если две стороны равны, то треугольник равнобедренный;
- если выполняется равенство АВ2 + ВС2 = АС2, то треугольник прямоугольный;
- иначе треугольник разносторонний.
Образец решения:
А(4, 1, 0), В(4, 4, 3), С(-2, 1, 6).
Найдем длину каждой стороны треугольника по формуле расстояния между двумя точками:
В данном случае выполняется равенство АВ2 + ВС2 = АС2 (18 + 54 = 72). Значит, ΔАВС – прямоугольный.
Ответ: ΔАВС – прямоугольный
Задание 6.
Даны две точки А и В. Найти координаты точки М – середины отрезка АВ.
| Вариант | А | В |
| (5, -2, 3) | (1, 2, -1) | |
| (2, 3, 4) | (4, 7, 2) | |
| (-2, 4, 6) | (4, 2, 8) | |
| (-3, 1, 7) | (5, 7, 3) | |
| (8, 2, 5) | (-4, 6, 3) | |
| (7, 3, -1) | (5, 9, 7) | |
| (-5, 8, 12) | (9, -4, -2) | |
| (6, -3, 8) | (4, 7, 2) | |
| (9, 1, 7) | (-5, 7, 5) | |
| (10, 6, 4) | (2, -2, 6) |
Алгоритм решения:
Координаты середины отрезка АВ находим по формулам:
Образец решения:
Даны две точки А(4, 1, 5), В(-2, 3, 7). Найти координаты точки М – середины отрезка АВ.
Ответ: М(1, 2, 6)
Задание 7.
Даны точки А, В, С и D. Найти координаты и длины векторов 
, 
, 
, 
| Вариант | А | В | С | D |
| (6, 5, 2) | (5, 4, 6) | (2, 1, 3) | (6, 3, 5) | |
| (5, 1, 3) | (-4, 2, 2) | (4, 2, 0) | (-1, 2, 4) | |
| (6, 1, -3) | (4, 2, -2) | (4, 1, 0) | (1, 2, -4) | |
| (5, -1, 2) | (3, 2, 2) | (4, 3, 1) | (1, 2, 4) | |
| (5, 5, 4) | (1, 1, -4) | (-3, 4, 1) | (2, 8, -1) | |
| (1, 5, 4) | (-2, 1, 3) | (4, -2, 1) | (1, 2, -1) | |
| (3, 5, 1) | (-2, 4, 0) | (1, 7, 5) | (4, 3, -2) | |
| (2, 4, 3) | (-1, -1, 5) | (4, 8, 3) | (-3, 6, 7) | |
| (-2, 4, -3) | (-5, 7, 1) | (1, -2, -2) | (1, 1, 2) | |
| (2, 4, -1) | (-2, -1, 3) | (1, -1, -3) | (3, 2, 4) |
Алгоритм решения:
Если заданы координаты точек А(х1, у1, z1), В(х2, у2, z2), то координаты вектора находим по формуле
Длина вектора равна 
Образец решения:
А(2, 3, 4) В(1, 2, -1) С(3, -2, 1)
(1 – 2; 2 – 3; -1 – 4) = (-1; -1; -5) 
(3 – 2; -2 – 3; 1 – 4) = (1; -5; -3) 
(3 – 1; -2 – 2; 1 – (-1)) = (2; -4; 2) 
Ответ: (-1; -1; -5), 
(1; -5; -3) 
(2; -4; 2) 
Задание 8.
Даны векторы 
и 
. Найти длину вектора 
| Вариант |
|
|
|
| (3, -2, 5) | (1, 0, 7) | 
| |
| (1, 5, 4) | (-2, 1, 5) | 
| |
| (-1, 0, 7) | (3, 4, -2) | 
| |
| (7, 1, 2) | (2, -1, 3) | 
| |
| (3, -2, 1) | (1, 2, -3) | 
| |
| (0, 2, 7) | (-2, 1, 4) | 
| |
| (3, 4, -2) | (-2, 5, 7) | 
| |
| (-3, 4, 1) | (0, 5, -2) | 
| |
| (-5, 4, -1) | (0, 1, 2) |
| |
| (3, 0, 5) | (-2, 1, 7) | 
|
Алгоритм решения:
Если заданы координаты вектора 
и 
, то координаты вектора 
находим по формуле
Получаем 
Образец решения:
Заданы вектора 
и 
. Найдем координаты вектора 
(24; 10; -6)
Ответ: (24; 10; -6)
Задание 9.
Даны векторы 
, 
и 
. Найти скалярное произведение: а) 
, б) 
,
в) 
| Вариант |
|
|
|
| (-2, 1, 3) | (2, -2, 4) | (1, 3, -2) | |
| (-1, 1, 3) | (2, 0, 1) | (2, 3, 4) | |
| (2, 3, -1) | (1, 2, -2) | (-3, 1, 2) | |
| (2, 3, 1) | (-1, 2, 1) | (0, 1, 3) | |
| (2, 4, 3) | (3, 0, -1) | (-2, 1, 2) | |
| (-2, 1, -1) | (1, 2, -2) | (1, 0, 1) | |
| (3, -1, 2) | (2, 2, 1) | (1, 0, 2) | |
| (-1, -2, 3) | (1, 0, 2) | (3, 4, 1) | |
| (-1, 2, 3) | (3, -1, 1) | (-1, -2, 1) | |
| (-3, 1, 2) | (3, 1, 2) | (1, 2, -1) |
Алгоритм решения:
Если заданы координаты вектора и , то скалярное произведение векторов вычисляется по формуле
Образец решения:
Заданы вектора 
, 
, 
Ответ: 
; 
; 
Задание 10.
Даны точки А, В и С. Найти угол между векторами 
и 
| Вариант | А | В | С |
| (1, 0, 2) | (-2, 1, 1) | (4, 0, 2) | |
| (-4, 1, 2) | (1, 4, -1) | (2, 2, 1) | |
| (-1, 2, 0) | (2, 1, 3) | (0, 2, -2) | |
| (1, 2, -3) | (-2, 1, 2) | (4, 2, 1) | |
| (4, 2, 3) | (-2, 3, 1) | (4, -1, 0) | |
| (3, 0, -1) | (1, 3, 3) | (2, 1, 2) | |
| (1, 3, -1) | (3, 1, -1) | (4, 0, 2) | |
| (4, 1, 2) | (3, 1, -2) | (3, 2, 4) | |
| (-2, 1, 2) | (1, 3, -1) | (2, 4, -1) | |
| (2, 1, 2) | (-1, 0, 3) | (3, 1, -3) |
Алгоритм решения:
Угол между векторами 
и находится по формуле
, где 
- скалярное произведение векторов и ,
и 
- длины векторов и
Образец решения:
А(-1, 2, 1), В(0, 1, 2), С(3, 0, 1)
1. Находим координаты векторов и
= (-1 – 0, 2 – 1, 1 – 2) = (-1, 1, -1)
= (3 – 0, 0 – 1, 1 – 2) = (3, -1, -1)
2. Находим скалярное произведение векторов
3. Находим длины векторов
3. Находим угол между векторами
Значит, 
Ответ:
 |