Пример выполнения задания.

Вычислить пределы: а)

, б)

, в)

,г)

Решение:

а) Подстановка предельного значения аргумента х=-3 приводит к неопределенному выражению вида .

Для устранения этой неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим дробь на множитель (х+3). Такое сокращение здесь возможно, так как множитель (х+3) отличен от нуля при х→ −3:

б) При х → ∞ выражение дает неопределенность вида (∞ − ∞). Для ее устранения умножим и разделим это выражение на , после чего разделим числитель и знаменатель полученной дроби на х, учитывая формулу (25):

в) При получим неопределенность . Обозначим arctg5x = y. Тогда 5х=tgy и y → 0 при х → 0. Применяя свойства пределов и формулу (26), имеем:

Эту задачу можно решить, используя эквивалентные замены бесконечно малых величин (28). Поскольку при эквивалентны , можно записать

г) При выражение является неопределенностью вида . Для устранения этой неопределенности представим основание степени в виде суммы 1 и бесконечно малой (при х → ∞) величины; после чего применим формулу второго замечательного предела (27):

Задача 6.

Теоретические сведения.

Производной от функции по аргументу x называется предел отношения приращения функции D у к приращению аргумента D х, когда последнее стремится к нулю:

Производная есть скорость изменения функции в точке х.

Отыскание производной называется дифференцированием функции.

Основные правила дифференцирования:

1. , где C=Const.

4. ,

5. , ,

Таблица производных элементарных функций ():

1. , 4.

2. , , 5.

3. , 6. , 7. ,

8. ,

9. ,

Если в таблице положить , то .

Пример выполнения задания.

Найдите производные функций: а)

; б)

; в)

Решение:

а) последовательно применяя правила дифференцирования сложной функции, правила и формулы дифференцирования, имеем:

;

б)

в) в данном случае функциональная зависимость задана в неявном виде. Для нахождения производной нужно продифференцировать по переменной х обе части уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение разрешить относительно :

;

Из последнего уравнения находим :

;

Задача 7.

Теоретические сведения. Исследование функции одной независимой переменной будем проводить по следующей схеме:

1. Найдем область определения функции.

2. Исследуем функцию на непрерывность.

3. Установим, является ли данная функция четной, нечетной или функцией общего вида.

4. Найдем интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума.

5. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой, точки ее перегиба.

6. Найдем асимптоты кривой.

Пример выполнения задания.

Исследовать функцию

и построить ее график.

Решение.

Реализуем приведенную схему исследования функции:

1. Функция определена при всех значениях аргумента х, кроме х= 1.

2. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, то есть на интервалах и .

В точке х= 1 функция терпит разрыв.

3. Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств (тогда − четная функция) или (для нечетной функции) для любых х из области определения функции: , .

Следовательно, и , то есть данная функция является функцией общего вида.

4. Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную:

Определим критические точки функции: при , не существует при . Тем самым имеем две критические точки: х= 0, х= 1. Но точка х= 1 не принадлежит области определения функции, экстремума в ней быть не может.

Разобьем числовую ось на три интервала , , .

В первом и третьем интервалах первая производная отрицательна, следовательно, здесь функция убывает, во втором интервале − положительна, и данная функция возрастает. При переходе через точку x =0 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум: . Значит, А(0;−1) является точкой минимума.

5. Для определения точек перегиба графика функции и интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную:

Для второй производной при и не существует при х =1. Разобьем числовую ось на три интервала , , .

На первом интервале вторая производная отрицательна и дуга исследуемой кривой выпукла; на втором и третьем интервалах , поэтому график является вогнутым. При переходе через точку вторая производная меняет свой знак, поэтому в этой точке кривая имеет перегиб: .

Следовательно, − точка перегиба графика функции.

6. В точке функция терпит разрыв, причем . Прямая является вертикальной асимптотой графика функции. Для определения уравнения наклонной асимптоты воспользуемся формулами:

, .

Тогда , .

При найденных значениях k и b прямая есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции, представленного на рисунке 1.

Рисунок 1. График исследуемой функции.

Задача 8.

Пример выполнения задания.

Резервуар, имеющий форму открытого сверху прямоугольного параллелепипеда с квадратным дном, нужно вылудить внутри оловом. Каковы должны быть размеры резервуара при его емкости 108 дм³, чтобы затраты на его лужение были наименьшими?

Решение. Затраты на покрытие резервуара оловом будут наименьшими, если при данной вместимости площадь его поверхности будет минимальной.

Обозначим через а (дм) − сторону основания, b (дм) − высоту резервуара. Тогда площадь его поверхности S = , а объем , или, согласно условия, . Поэтому

и .

Полученное соотношение устанавливает зависимость между площадью поверхности резервуара S (функция) и стороной основания a (аргумент). Область определения этой функции , так как а – сторона основания. Исследуем функцию S на экстремум. Найдем первую производную , приравняем ее к нулю и решим полученное уравнение:

Отсюда . Производная не существует при , но это значение аргумента не принадлежит области определения функции. При производная , при . Следовательно, при функция S имеет минимум. Если , то . Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 л будут наименьшими, если он имеет размеры .

Задача 9.

Теоретические сведения.

Переменная величина z называется функцией двух переменных x и y, если каждой паре значений (x,y) из данной области соответствует единственное определенное значение .

Для функции вводятся понятия частных производных первого порядка, которые определяются выражениями:

, ,

и частных производных второго порядка:

, , .

Функция имеет в точке максимум (минимум), если значение этой функции в точке больше (меньше), чем значения функции в любой точке из окрестности точки .

Необходимыми условиями существования экстремума (максимума или минимума) дифференцируемой функции является равенство нулю ее частных производных первого порядка:

Точки, в которых частные производные обращаются в ноль, называются стационарными точками функции . Для того чтобы стационарная точка являлась экстремумом, в ней должны выполняться достаточные условия. Обозначим , , , .

Если в стационарной точке

, то есть точка минимума;

, то есть точка максимума;

, то в точке нет экстремума;

, то требуется дополнительное исследование.

Пример выполнения задания.

Исследовать на экстремум функцию

Решение.

1. Найдем частные производные заданной функции

, .

2. Запишем необходимые условия существования экстремума

значит точка является стационарной точкой функции.

3. Проверим выполнение в точке М достаточного условия. Для этого найдем вторые частные производные функции

, , .

В точке и . Поскольку , точка является точкой максимума. Значение функции в этой точке .

Задача 10.

Теоретические сведения.

Функция двух независимых переменных принимает наибольшее и наименьшее значения в области D, ограниченной линией , либо в стационарных точках, расположенных внутри области D, либо на границе этой области.

Задача об отыскании наибольшего и наименьшего значений функции в заданной области D решается по следующему плану:

1. Определяем стационарные точки функции, расположенные внутри области D, и вычисляем значения функции в этих точках.

2. Находим стационарные точки функции на границе области или на отдельных ее участках, заданных различными уравнениями, и вычисляем значения функции в этих точках.

3. Из всех вычисленных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее.

Пример выполнения задания.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции