Цилиндр
Цилиндрическая поверхность – это поверхность, образованная прямыми, проходящими через все точки окружности, перпендикулярными плоскости, в которой лежит эта окружность.
Эти прямые – образующие цилиндрической поверхности.
Прямая, проходящая через центр окружности, перпендикулярно к плоскости – ось цилиндрической поверхности.
Цилиндр – тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами.
Круги – основания цилиндра; отрезки образующих, заключённые между основаниями – образующие цилиндра; образованная ими часть цилиндрической поверхности – боковая поверхность.
Ось цилиндрической поверхности называется осью цилиндра.
Длина образующей называется высотой цилиндра, а радиус основания – радиусом цилиндра.
Сечение – изображение фигуры, образованной рассечением тела плоскостью.
Осевое сечение – вариант сечения, при котором плоскость проходит через ось тела.
Развёртка боковой поверхности цилиндра – прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра, а другая длине окружности основания.
Определение
Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная прямыми, проходящими через все точки окружности, перпендикулярными плоскости, в которой лежит эта окружность.
Сами прямые называют образующими цилиндрической поверхности.
Прямая, проходящая через точку О, перпендикулярно к плоскости, называется осью цилиндрической поверхности.
Так как все образующие и ось перпендикулярны плоскости 𝛂, значит они параллельны друг другу (вспомнить теорему «Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны»).
Если построить ещё одну плоскость 𝛃, которая будет параллельна плоскости 𝛂, то отрезки образующих, заключённые между плоскостями 𝛂 и 𝛃 будут параллельны и равны друг другу (вспомнить свойство параллельных плоскостей «отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны»). Точки, являющиеся концами отрезков параллельных прямых и лежащие в плоскости 𝛃, дают окружность, равную окружности, лежащей в плоскости 𝛂.
Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами (границы которых есть те самые равные окружности в плоскостях 𝛂 и 𝛃) называется цилиндром.
Круги называются основаниями цилиндра, отрезки образующих, заключённые между основаниями, - образующими цилиндра, а образованная ими часть цилиндрической поверхности – боковой поверхностью цилиндра.
Ось цилиндрической поверхности называется осью цилиндра.
Длина образующей называется высотой цилиндра (все образующие равны и параллельны), а радиус основания – радиусом цилиндра.
Основные формулы
Формула для вычисления площади боковой поверхности цилиндра: Sбок=2𝛑RL.
То есть площадь боковой поверхности равна произведению длины окружности основания цилиндра на его высоту.
Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. В виде формулы это можно записать так: Sполн=2𝛑R(R+L).
Конус
Коническая поверхность – это поверхность, образованная прямыми, проходящими через все точки окружности, и точку, не лежащую в плоскости этой окружности.
Эти прямые – образующие конической поверхности.
Прямая, проходящая через центр окружности, перпендикулярно к плоскости – ось конической поверхности.
Конус – тело, ограниченное конической поверхностью, точкой и кругом.
Круг – основание конуса; точка - вершина конуса, отрезки образующих, заключённые между основанием и вершиной – образующие конуса; образованная ими часть конической поверхности – боковая поверхность конуса.
Ось конической поверхности называется осью цилиндра.
Расстояние от вершины до основания конуса называется высотой конуса, а радиус основания – радиусом конуса.
Сечение – изображение фигуры, образованной рассечением тела плоскостью.
Осевое сечение – вариант сечения, при котором плоскость проходит через ось тела.
Развёртка боковой поверхности конуса – сектор, радиус которого - образующая конуса, а длина дуги - длина окружности основания конуса.
В плоскости 𝛂 построю окружность L с центром в точке О. Проведу прямую ОР перпендикулярно плоскости 𝛂. Соединю точку Р со всеми точками окружности L прямыми линиями. Поверхность, состоящую из этих прямых, называют конической поверхностью, сами прямые называют образующими конической поверхности, точку Р называют вершиной, а прямую ОР – осью конической поверхности.
Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом.
Круг называют основанием конуса.
Вершину конической поверхности называют вершиной конуса.
Отрезки образующих, заключённые между вершиной и основанием называют образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности – боковой поверхностью конуса.
Ось конической поверхности называют и осью конуса, а её отрезок, заключённый между вершиной и основанием называют высотой конуса.
Отмечу, что все образующие конуса равны друг другу. Это легко доказать, если рассмотреть различные прямоугольные треугольники, в которых один катет – это высота конуса, а вторыми катетами являются радиусы основания конуса. Тогда образующие, являясь гипотенузами этих прямоугольных треугольников с равными катетами, также будут равны.
Основные формулы
Формула для вычисления площади боковой поверхности конуса: Sбок=𝛑RL.
Площадь полной поверхности конуса: Sполн=𝛑R(R+L).
Усеченный конус
Если взять произвольный конус и провести секущую плоскость перпендикулярно его оси, то исходный конус разделится на две части. Верхняя часть представляет собой конус меньших размеров, а оставшуюся часть называют усечённым конусом.
Основание исходного конуса и круг, получившийся в сечении, называют основаниями усечённого конуса.
Отрезок, соединяющий центры оснований, называют высотой усечённого конуса.
Часть конической поверхности, ограничивающая усечённый конус, называется боковой поверхностью усечённого конуса.
Отрезки образующих, заключённые между основаниями, называются образующими усечённого конуса. Отмечу, что все образующие усечённого конуса равны друг другу.
Формула для вычисления площадей поверхностей усеченного конуса
Sбок.пов.ук=π(r+R)L
S.полн.пов.ук=π(rL+RL+r2+R2)
