| Цель изучения: | усвоить учебные элементы на уровне знаний и умения применять их для решения различных типовых задач. Воспитание навыков самостоятельной учебной деятельности. |
Учебные вопросы:
1. Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения.
2. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Свойства.
3. Дисперсия дискретной случайной величины. Свойства. Среднее квадратическое отклонение.
4. Мода. Начальные и центральные моменты дискретной случайной величины различных порядков.
Краткие сведения из теории
I. Под случайной величиной понимают величину, которая в результате опыта примет то или иное значение, причем неизвестно заранее какое именно.
Случайные величины бывают:
1) дискретные;
2) непрерывные.
Случайные величины обозначаются заглавными буквами латинского алфавита 
, 
, 
и т.д. Возможные значения данной случайной величины обозначаются соответствующими маленькими буквами латинского алфавита: 
, 
, …, 
; 
, 
, …, 
и т.д.
Соотношение, устанавливающее тем или иным способом связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения случайной величины.
Закон распределения можно задать:
1) таблично;
2) аналитически;
3) графически.
Табличный закон распределения дискретной случайной величины имеет вид:
|
|
|
| … |
|
| 
| 
| … | 
|
Такая таблица называется рядом распределения, где , , …, − все возможные значения случайной величины , а , , …, − соответствующие вероятности, т.е. 
, 
.
Критерием правильности составления ряда распределения является условие:
 .
| 
|
Графический закон распределения дискретной случайной величины можно задать многоугольником распределения (рис. 3.1.).
Рис. 3.1. Многоугольник распределения
II. Числовые характеристики – это числовые параметры, которые характеризуют отдельные существенные свойства случайной величины. Математическое ожидание 
дискретной случайной величины находится по формуле:
 .
| 
|
Свойства математического ожидания:
1) 
, где 
− постоянная величина.
2) 
.
3) 
, если и − независимы случайные величины.
4) 
.
5) 
.
Вероятностный смысл математического ожидания − математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
III. Дисперсия случайной величины по определению равна:
 .
| 
|
Дисперсию дискретной случайной величины находят по формулам:
 .
| 
|
или
 .
| 
|
Свойства дисперсии:
1) 
, где − постоянная величина.
2) 
.
3) 
.
4) 
.
Среднее квадратическое отклонение случайной величины вычисляют следующим образом:
 .
| 
|
Из формулы следует, что дисперсия (рассеяние) должна бать всегда положительной.
IV. Модой (
) случайной величины называется ее наиболее вероятное значение.
Начальным моментом порядка 
случайной величины называют математическое ожидание величины 
:
 .
| 
|
Следствие. Так как 
и 
, то 
.
Центральным моментом порядка случайной величины называют математическое ожидание величины 
:
 .
| 
|
Следствие.
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
.
Задача 3.42. Дан закон распределения дискретной случайной величины:
|
| -1 | |||
|
| 0,26 | 0,3 | 0,12 | ? |
Найти: а) вероятность 
; б) математическое ожидание случайной величины; в) дисперсию; г) среднее квадратическое отклонение; д) моду; е) начальные и центральные моменты до четвертого порядка включительно; ж) построить многоугольник распределения.
Решение. а) По формуле находим :
.
б) Математическое ожидание найдем, если воспользуемся формулой :
.
в) Найдем дисперсию по формуле :
.
г) По формуле определяем среднее квадратическое отклонение:
.
д) Наибольшую вероятность имеет событие 
, поэтому мода равна 
.
е) Найдем сначала начальные моменты 1-го, 2-го, 3-го и 4-го порядков по формуле . Тогда, с учетом следствия, имеем:
; 
; 
;
.
Теперь рассчитываем центральные моменты 1-го, 2-го, 3-го и 4-го порядков по формуле и, с учетом следствия, получаем:
; 
; 
;
.
ж) Построим многоугольник распределения, используя данные задачи и рис. 3.1.
Ответ. а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) ; е) ; ; 
; 
; ж) ; ; 
; 
.
Задание для самостоятельной работы
Задача 3.43. Дан закон распределения дискретной случайной величины:
|
| ||||
|
| 0,2 | ? | 0,25 | 0,3 |
Найти: а) вероятность ; б) математическое ожидание случайной величины; в) дисперсию; г) среднее квадратическое отклонение; д) моду; е) начальные и центральные моменты до четвертого порядка включительно; ж) построить многоугольник распределения.
Задача 3.44. Дан закон распределения дискретной случайной величины:
|
| -2 | |||
|
| 0,11 | 0,23 | ? | 0,5 |
Найти: а) вероятность 
; б) математическое ожидание случайной величины; в) дисперсию; г) среднее квадратическое отклонение; д) моду; е) начальные и центральные моменты до четвертого порядка включительно; ж) построить многоугольник распределения.