1. Алексей приобрёл ценную бумагу за 7 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10 %. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?
РЕШЕНИЕ.
1 вариант.
Если ценная бумага будет находится у Алексея n лет, то через n лет он получит 7+2n тыс. рублей. Пусть на (n+1) - й год Алексей положил деньги в банк. Найдем, каким должно быть число n, чтобы это было наиболее выгодным вложением: (7+2n)∙1,1>7+2n+2, n>6,5. Так как Алексей положил деньги в банк на (n+1) год, то максимальную прибыль он получит, если положит деньги в банк на 8 год.
2 вариант.
Используя таблицу, вычислим, на какой год проценты положенных денег станут превышать 2000 руб.
| Год | Сумма %, руб | |||
Следовательно, именно на восьмой год Алексей должен продать бумагу и положить деньги на банковский счёт.
2. 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы: 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
РЕШЕНИЕ. 1 ВАРИАНТ.
Пусть сумма кредита равна S. По условию, долг перед банком по состоянию на 15-е число должен уменьшиться до нуля равномерно: S, 
,...., 
, 
, 0.
Первого числа каждого месяца долг возрастает на r% Пусть k=1+ 
, тогда последовательность размеров долга на 1-ое число каждого месяца такова: kS, 
,...., 
, 
. Следовательно, выплаты должны быть следующими: (k-1)S+ , 
,...., 
, 
. Всего следует выплатить S+S(k-1)(1+ 
+.... + 
+ 
)=S(1+10(k-1)). Т.к в скобках сумма арифметической прогрессии: 
•n= 
•19=10. Общая сумма выплат на 30% больше суммы, взятой в кредит, поэтому 10(k-1)=0,3 ⇔ k=1,03 ⇔ r=3.
2 ВАРИАНТ. Решаем по формуле переплат, которая следует из формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии: 
• n= 
• n, это мы нашли все переплаченные проценты.
P= 
•S, где P - переплата, S - кредит, n – срок выплаты кредита, r - проценты. •S= 
•S=0,3S отсюда r=3.
3. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей
на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей РЕШЕНИЕ.
Найдём минимальный срок кредита. Так как мы ищем минимальный срок кредита, то первый платеж должен быть максимальным, т.е. составлять 9 млн. рублей. В январе сумма долга станет равной 1,25 · 28 = 35 млн. руб. После 1 платежа сумма долга будет равна 35 – 9 = 26 млн. руб. 28 – 26 = 2 – разница между долгом в июле одного года и в июле следующего года. Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года, то каждый год долг в июле должен быть на 2 млн руб. меньше, чем в июле предыдущего года.
В таком случае пусть осталось выплатить n платежей. Тогда
26 –2n = 0, n = 13. Учитывая, что 1 платеж уже был сделан, то минимальный срок кредита составит 14 лет. Найдём общую сумму выплат: В=P+S; P= •S; P= 
•28=52,5; В=52,5+28=80,5.
4. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей
на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей? РЕШЕНИЕ.
1 ВАРИАНТ.
Данная задача легко решается по формуле переплат.
P=B-S; P=38-16=22; P= •S; 22= 
•16, отсюда n=10.
2 ВАРИАНТ.
1 год: в январе долг стал равен 16*1,25 = 20 млн. руб. Пусть x (млн. руб.) - составил 1 платеж. Тогда в июле после 1 платежа долг стал равен (20-x) млн. руб. Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года, то эта величина равна 16 - (20-x) = (x-4) млн. руб. Пусть кредит был взят на n лет. Тогда в n-ый год в январе долг будет равен (16−(n−1)⋅(x−4))⋅1,25, (16−(n−1)⋅(x−4))⋅1,25 млн. руб. В июле n-го года долг равен 16-n(x-4). А выплату в n году можно посчитать по формуле: (16−(n−1)⋅(x−4))⋅1,25−(16−n(x−4)). (16−(n−1)⋅(x−4))⋅1,25−(16−n(x−4)). В 1 год платеж был равен x млн. руб. Во 2 год - (16−x+4)⋅1,25−16+2x−8=1+0,75x. (16−x+4)⋅1,25−16+2x−8=1+0,75x. В 3 год -(16−2x+8)⋅1,25−16+3⋅(x−4)=2+0,5x. (16−2x+8)⋅1,25−16+3⋅(x−4)=2+0,5x. Имеем арифметическую прогрессию, разность которой равна 1+0,75x-x = 1-0,25x, а первый член прогрессии равен X. Так как общая сумма выплат после его погашения равнялась 38 млн рублей, то получаем по формуле для суммы n первых членов арифметической прогрессии: Sn=2x+(1−0,25x)⋅(n−1)2⋅n=38, (2x+(1−0,25x)⋅(n−1))n=76. Так как n-ый платеж является последним, то получаем уравнение: 16−n(x−4)=0, откуда получаем, что n= 
. Подставляем в предыдущее уравнение (формула суммы n первых членов арифметической прогрессии): (2x+(1−0,25x)⋅( −1))⋅ =76; 10x2−96x+224=0; x1=4, x2=5,6. Пусть x = 5,6. Тогда n = 
= 10. Если x = 4, то n посчитать невозможно, так как в знаменателе 0. Получаем, что кредит был взят на 10 лет.
5. В июле планируется взять кредит на сумму 8052000 рублей. Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга
Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)?
1 ВАРИАНТ
Syn= 
a; Sy4= 
a=(y+1)(y2+1)a; a= 
; a= 
=3110400
2 ВАРИАНТ
Пусть a (рублей) - нужно платить ежегодно. 1 год: в январе сумма долга составит 8052000•1,2 = 9662400. После 1 платежа сумма долга станет равна 9662400 - a. 2 год: в январе сумма долга составит (9662400 - a)•1,2. После 2 платежа сумма долга станет равна (9662400 - a)•1,2 - a. 3 год: в январе сумма долга составит ((9662400 - a)•1,2 - a)•1,2. После 3 платежа сумма долга станет равна ((9662400 - a)•1,2 - a)•1,2 - a. 4 год: в январе сумма долга составит (((9662400 – a)•1,2 - a)•1,2 - a)•1,2. После 4 платежа сумма долга станет равна (((9662400 - a)•1,2 - a)•1,2 - a)•1,2 - a. Так как кредит был погашен 4 равными платежами, то после 4 платежа долга не осталось, т.е. (((9662400 - a)•1,2 - a)•1,2 - a)•1,2 - a = 0. Решим это уравнение и найдем a. а = 3 110 400.
6. В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,16 млн рублей.
Сколько млн. рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года)?
РЕШЕНИЕ
1 ВАРИАНТ Syn= a; Sy3= 
a=(y2+y+1)a; S= 
;
S= 
=4550000
2 ВАРИАНТ
Пусть в банке было взято X млн. руб. 1 год:в январе сумма долга будет составлять 1,2a. После 1 платежа сумма долга составит: 1,2 a - 2,16. 2 год: в январе сумма долга будет составлять 1,2⋅(1,2a−2,16)=1,22⋅a−2,592. После 2 платежа сумма долга составит: 1,22⋅a−1,2⋅2,16−2,16=1,22⋅a−4,752. 3 год: в январе сумма долга будет составлять 1,2⋅(1,22⋅a−4,752)=1,23⋅a−5,7024. После 3 платежа сумма долга составит: 1,23⋅a−5,7024−2,16=1,23⋅a−7,8624. Так как кредит был погашен 3 равными платежами, то после 3 платежа долга не останется, т.е. 1,23⋅a−7,8624=0, отсюда а=4,55.
7. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100000 рублей. Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает на y% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга. Найдите число y, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причем в первый год было переведено 55000 руб., а во второй 69000 рублей.
РЕШЕНИЕ
1 год: в январе сумма долга составит (1+y/100)⋅100000=100000+1000y. После 1 платежа долг будет равен 100000+1000y−55000=45000+1000y. В январе сумма долга составит (1+y/100)⋅(45000+1000y). После 2 платежа долг будет равен (1+y/100)⋅(45000+1000y)−69000. Так как кредит был полностью погашен за 2 года, то после выплаты 2 платежа долга не осталось, то есть (1+y/100)⋅(45000+1000y)−69000=0, отсюда y1=15, y2=−160.
8. 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на некоторое количество процентов), затем Игорь переводит очередной транш. Игорь выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 51 000 рублей, во второй 66 600 рублей. Под какой процент банк выдал кредит Игорю?
РЕШЕНИЕ.
Пусть x% – искомая ставка по кредиту; m = (1 + 0,01x) – множитель оставшегося долга; a = 100000 – сумма, взятая в банке; y1 = 51000y2 = 66000 – размеры первого последнего трáншей. После первой выплаты сумма долга составит: a1=ma–y1. После второй выплаты сумма долга составит: a2= ma1–y2= m2a–my1–y2. По условию, a2=0. Уравнение надо будет решить сначала относительно m, разумеется, взяв только положительный больше единицы: 100000m2–51000m–66600=0; 500m2–255m–333=0. Согласно теореме Виета: 
=-0,6, 
=1,11. Тогда x=0,11, x%=11%.
Ответ: 11
В своей работе ярассмотрела характерные типы задач на проценты для того, чтобы выработать основные способы решения таких задач. Пришла к выводу, что задачи на кредиты, предложенные на ЕГЭ, делятся на 2типа: задачи с одинаковым размером платежа и задачи, в которых n-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на n-е число предыдущего месяца. В приложении предоставлен банк задач по данной теме.
Банк задач.
Задачи на концентрацию, содержание сухого вещества
1. В сосуд, содержащий 8 литров 15-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составит концентрация получившегося раствора?
2. Смешали некоторое количество 19-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 17-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
3. Первый сплав содержит 5% меди, второй — 11% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 4 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава.
4. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 80 килограммов изюма, если виноград содержит 82% воды, а изюм содержит 19% воды?
5. Смешав 43-процентный и 89-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 69-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 73-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 43-процентного раствора использовали для получения смеси?
6. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 150 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?