Оптимизация назначения приоритетов

Рассмотрим систему M/G/1 с интенсивностью поступающего пуассоновского потока l требований в секунду и произвольной функцией плотности вероятности для времени обслуживания с заданным средним временем обслуживания. Пусть плата за требование Y является случайной величиной с произвольной функцией распределения .

Система функционирует следующим образом: новое требование, поступившее в систему «предлагает» неотрицательную плату Y «организатору очереди». После этого требованию предоставляется место в очереди такое, что все требования внесшие меньшую плату оказываются позади, большую впереди данного требования. В каждый момент времени сервер, завершив обслуживание очередного требования, принимает на обслуживание требование, оказавшееся впереди всей очереди. До полного завершения обслуживания требование не покидает сервер. Требования, внесшие одинаковую плату, обслуживаются в порядке поступления.

Найдем среднее время ожидания в очереди для требования, внесшего плату Y=y. Это время складывается из трех составляющих. Во-первых, это время на дообслуживание требования, находящегося в данный момент в сервере. Во-вторых – время обслуживания требований, которые поступили раньше и внесли большую или равную плату. Наконец меченому требованию придется ждать обслуживания всех требований поступивших позже его, но внесли большую плату. Среднее число требований, плата которых лежит в интервале (u,u+du) определяется по формуле Литтла: , где .

Используя обозначения для нижнего и верхнего предела функции b(u) можно записать суммарное выражение для времени ожидания в очереди для меченого требования в виде:

Используя ряд соотношений и обозначений можно найти, что при разрывной функции распределения вероятности это соотношение может быть приведено к виду

При абсолютно непрерывной функции плотности вероятности получим

Таким образом, мы получили конечное среднее время ожидания для всех требований, которые вносят плату выше, чем некоторое критическое значение

В пределе, когда размер платы стремится к бесконечности, среднее время ожидания стремится к W₀. Нетрудно убедиться, что когда размер платы для всех требований одинаков

Это известный результат для СМО типа M/G/1 при обслуживании в порядке поступления, как и следовало ожидать, поскольку равная плата равносильна ее отсутствию с точки зрения распределения приоритетов.

При распределении приоритетов можно рассмотреть и другие стоимостные задачи. Определим оптимальное распределение платы за приоритеты в следующих предположениях. Пусть имеется зависимость стоимости от времени задержки в очереди для каждого требования, т.е. есть возможность определить, сколько стоит каждая секунда ожидания в очереди. Опишем эту зависимость с помощью случайного коэффициента нетерпения a.

Очевидно, что общие затраты клиента при обслуживании будут состоять из платы за место в очереди и потерь от времени ожидания.

Для требования с фиксированным коэффициентом нетерпения эти затраты равны

Пусть для всей совокупности клиентов можно определить функцию распределения вероятностей коэффициентов нетерпения

Сформулируем следующую задачу оптимизации: найти функцию y_a, которая минимизирует среднюю стоимость С при условии ограничения всей средней платы некоторой заданной величиной B.

Определим

Преобразуя минимизируемый интеграл, получим

Из закона сохранения в непрерывной форме

следует, что решение задачи минимизации стоимости сводится к нахождению такой функции, при которой минимальна площадь под кривой произведения:

В то время как площадь под кривой, определяемой первым сомножителем должна оставаться постоянной.

Путем рассуждений о согласованности возрастания и убывания функций, входящих в произведение, можно сделать вывод, что решением задачи являются все функции, удовлетворяющие условию