Александр Калери родился 13 мая 1956 года в городе Юрмала, Латвия. Мальчик вырос в обычной семье. В 1973 году окончил среднюю школу № 5. Далее, в 1979 году получил диплом Московский Физико-Технический Институт в городе Долгопрудный, Московской области по специальности «Динамика полета и управление летательным аппаратом». Позднее заочно окончил аспирантуру того же вуза по специальности «Механика жидкостей, газа и плазмы».
С 19 сентября 1979 года работал инженером 16-го отдела научно-производственного объединения «Энергия». Молодой человек участвовал в разработке проектной и технической документации, натурных испытаниях ОК «Мир». Также занимался исследованием нагрузок в эксперименте «Астра-2» на орбитальной станции «Салют-7», а так же одной из модификаций корабля «Союз Т» и модуля для ОК «Мир», создаваемого на базе этого же корабля.
Решением Государственной межведомственной комиссии от 15 февраля 1984 года Калери отобран кандидатом в отряд космонавтов НПО «Энергия». В середине апреля 1984 года назначен на должность кандидата в космонавты-испытатели 291-го отдела НПО «Энергия».
Весной 1987 года Александр Юрьевич проходил подготовку в качестве бортинженера третьего экипажа корабля «Союз ТМ-4» по программе третьей основной экспедиции на ОК «Мир». В 1990 году проходил подготовку в качестве бортинженера резервного экипажа корабля «Союз ТМ-11» по программе ЭО-8 на ОК «Мир».
Первый космический полет Александр Калери совершил с 17 марта по 10 августа 1992 года в качестве бортинженера транспортного космического корабля «Союз ТМ-14» и Орбитального комплекса «Мир» по программе ЭО-11. Стартовал вместе с Александром Викторенко и Клаусом Фладэ. За время полета совершил один выход в открытый космос продолжительностью 2 часа 3 минуты. Продолжительность полета составила 145 суток 14 часов 10 минут 32 секунды.
Указом Президента Российской Федерации № 870 от 11 августа 1992 года за успешное осуществление длительного космического полета на орбитальной станции «Мир» и проявленные при этом мужество и героизм летчику космонавту Калери Александру Юрьевичу присвоено звание Героя Российской Федерации с вручением знака особого отличия, медали «Золотая Звезда».
В этот же день Указом Президента Российской Федерации № 871 от 11 августа 1992 года Калери Александру Юрьевичу присвоено звание «Летчик космонавт Российской Федерации». Герой стал первым из российских космонавтов, удостоенным этого звания.
Второй космический полет Калери совершил с 17 августа 1996 по 2 марта 1997 года в качестве бортинженера ТК «Союз ТМ-24» и ОК «Мир» по программе ЭО-22. Стартовал вместе с Валерием Корзуном и Клоди Деэ. Во время полета совершил два выхода в открытый космос. Продолжительность полета составила 196 суток 17 часов 26 минут.
Третий космический полет Александр Юрьевич совершил с 4 апреля по 16 мая 2000 года в качестве бортинженера Транспортного Корабля «Союз ТМ-30» и ОК «Мир» по программе ЭО-28 вместе с Сергеем Залетиным. Данный полет стал последней экспедицией на Орбитальный Комплекс «Мир». Во время полета совершил один выход в открытый космос. Продолжительность полета составила 72 суток 19 часов 42 минуты 16 секунд.
Четвертый космический полет Калери совершил с 18 октября 2003 по 30 апреля 2004 года в качестве командира ТК «Союз ТМА-3» и бортинженера 8-й основной экспедиции на МКС вместе с Майклом Фоулом. Во время полета совершил один выход в открытый космос продолжительностью 3 часа 55 минут. Продолжительность полета составила 194 суток 18 часов 33 минуты 12 секунд.
Свой пятый космический полет Калери совершил с 7 октября 2010 по 16 марта 2011 года в качестве командира корабля «Союз ТМАМ» и бортинженера Международной Космической Станции по программе 25-й и 26-й основных экспедиций, вместе с Олегом Скрипочкой и Скоттом Келли. Продолжительность полета составила 159 суток 08 часов 43 минуты 05 секунд.
Суммарная продолжительность пребывания в космосе за пять полетов составила 769 суток 6 часов 34 минуты 56 секунд. Выполнил пять выходов в открытый космос суммарной продолжительностью в 23 часа 35 минут.
Калери являлся старшим лейтенантом запаса, летчик-космонавт Российской Федерации, космонавт первого класса, инструктор космонавт-испытатель первого класса.
Награжден орденами «За заслуги перед Отечеством» I, III и IV степеней, орденом Дружбы, медалями, а также орденами и медалями иностранных государств: кавалер ордена Почетного легиона, медалями НАСА «За космический полет» и «За общественные заслуги», США.