Математику называют царицей наук и считают самой точной и строгой областью научного исследования. Не случайно существует мнение, что математики плохо приспособлены к законам действительного парадоксального мира, так как их «математический мир» отличается идеальностью, логичностью и непротиворечивостью. Поэтому наличие парадоксов в математике – это факт сам по себе парадоксальный. И все-таки это – факт. Парадоксы существуют даже в математике. Более того, математические парадоксы являются наиболее впечатляющими, а вместе с тем и особенно сложными и трудными для понимания.
За свою историю математика испытала три сильнейших потрясения, три кризиса, которые касались ее основ. И все три сопровождались обнаружением парадоксов. Одновременно с этим их преодоление достигалось ценой введения необычных понятий, утверждением невероятных идей. Одним словом, парадоксы разрешались благодаря тому лишь, что они порождали новые, также парадоксальные теории.
Первый кризис разразился еще в древности и был вызван открытием факта несоизмеримости величин. Другими словами две однородные величины, выражающие длины или площади, являются соизмеримыми, если они обладают так называемой общей мерой. То есть если имеется такая однородная с ними величина, которая укладывается в каждой из них целое число раз. Однако выяснилось, что диагональ квадрата и его сторона не имеют общей меры, и их отношения нельзя выразить с помощью известных к тому времени рациональных, то есть целых или дробных чисел. Это и вызвало кризис античной математики. Парадокс состоял в том, что по отдельности каждая из несоизмеримых величин – и диагональ и сторона квадрата – может быть измерена и количественно точно определена. Однако выразить их длины через отношения друг к другу посредством имевшихся тогда чисел не удавалось.
Этот парадокс удалось преодолеть путём введения в математику √ (квадратного корня). Он был введен благодаря следующим рассуждениям:
Если квадрат разрезать по диагонали, получается два прямоугольных равнобедренных треугольника, где линия бывшей диагонали будет гипотенузой, а стороны квадрата – катетами. Согласно знаменитой теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, точнее, площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Отсюда и величина отношения гипотенузы к катету (или диагонали к стороне квадрата), равная √2.
Очередная катастрофа произошла несколько веков спустя и особенно сильно проявлялась в математике в XVII-XVIII вв. В этот раз дело касалось истолкования бесконечно малых величин. Бесконечно малые – это переменные величины, стремящиеся к нулю, точнее, как было показано позже, стремящиеся к пределу, равному нулю. Кризис возник в силу расплывчатого понимания бесконечно малого. В одних случаях оно приравнивалось к нулю и при вычислениях отбрасывалось, в других же – принималось как значение, отличное от нуля, о чем говорит и само название. Причина столь противоречивого подхода к бесконечно малым объясняется тем, что их рассматривали в качестве постоянных величин, В силу этого бесконечное понималось как нечто завершенное, имеющееся налицо, данное всеми своими элементами.
Выход из кризиса был найден созданием теории пределов, окончательно построенной в начале XIX века известным французским математиком О. Коши. Это парадоксальное состояние (полагать бесконечно малые нулями и в то же время неравными нулю) О. Коши разрешает введением качественно новых, невообразимых ранее величин. Он берет их из области возможного, а не действительного. Бесконечно малые – это величины, которые существуют лишь как постоянно изменяющиеся, стремящиеся к пределу, но никогда его не достигающие. То есть они всегда остаются в возможности, в потенции, так что не реализуется ни одна из указанных альтернатив. Величины не застывают в каких-либо одних конкретных значениях. Они постоянно изменяются, приближаясь к нулю, но и не превращаясь в нуль.
Последний кризис имел место на рубеже XIX-XX веков и был столь мощным, что затронул не только саму математику, но и логику, поскольку эти науки тесно связаны, и язык, поскольку дело касалось способов точного выражения содержания наших мыслей.
К концу XIX века в качестве фундамента всего здания классической математики прочно утвердилась теория множеств, развитая выдающимся немецким ученым Г. Кантором. Понятие «множество» или «класс», «совокупность» – простейшее в математике. Оно не определяется, а поясняется примерами. Можно говорить о множестве всех книг, составляющих данную библиотеку, множестве всех точек данной прямой и т.д. Далее вводится понятие «принадлежать», то есть «быть элементом множества». Так, книги, точки являются элементами соответствующих множеств. Для определения множества необходимо указать свойство, которым обладают все его элементы.
С появлением теории множеств казалось, что математика обретает ясность и законченность. Однако и здесь нашлось место парадоксу. В 1902 году молодой английский логик Б. Рассел обратил внимание на противоречивость исходных позиций понятия множества.
Дело в том, что множество (класс) есть совокупность объектов, которые и составляют элементы данного множества. Поскольку само множество тоже объект, как и его элементы, то вставал вопрос, является ли множество элементом самого себя, то есть, принадлежит ли оно к числу элементов собственного класса? Выяснилось, что есть два вида классов. Одни содержат себя в качестве собственного элемента. Например, класс списков. Его элементами являются конкретные списки. Скажем, список книг какой-либо библиотеки, список студентов некоторой группы и т.д. Но и сам класс оказывается в числе своих элементов, потому что список списков есть также список. Аналогично и каталог каталогов есть каталог.
Однако подобных классов очень немного. Обычно же классы не содержат себя в качестве собственного элемента. Например, множество «человек». Его составляют конкретные люди: Петров, Сидоров, Аристотель. Любой человек, молодой или в возрасте, мужчина или женщина, студент или профессор – каждый из них является элементом множества «человек». Само же это множество элементом собственного класса стать не может, ибо нет человека вообще, человека как такового. Это не более чем абстракция, понятие, которое отвлечено от всех конкретных признаков и существует только в идеальном виде как мысленная конструкция.
Если попробовать образовать класс из всех вот таких классов, которые не включают себя в качестве своего элемента: «человек», «дерево», «планета» и т.п., то возникает вопрос: будет ли он, этот новый класс, входить элементом в свое же множество или не будет? Здесь и появился парадокс. Если мы включим его в свой класс, то его надо выключить, потому что сюда, по условию, входят только те множества, которые не являются собственными элементами. Но если выключим, тогда надо включить, поскольку он будет удовлетворять условию: он же в этом случае не является элементом своего множества [9].
Таков смысл парадокса, названного именем Б. Рассела. Сам Рассел предложил также популярный вариант открытого им противоречия – это так называемый «парадокс парикмахера»:
Один военный парикмахер получил приказ брить всех тех и только тех военнослужащих своего подразделения, которые не бреются сами. Должен ли он бриться сам? Если он будет это делать, то нарушит приказ, так как брить тех, кто бреется сам, ему запрещено. Если не будет – тоже нарушит: тех, кто не бреется сам, он обязан брить. Таким образом, выполнить этот приказ невозможно [4,С.189-190].
Выступление Б. Рассела имело широкий резонанс. Конечно, парадоксы были отмечены и до него. Однако Б. Рассел сумел увидеть самую суть противоречий, показав, что здесь не обойтись «текущим ремонтом» и нужны фундаментальные перемены. Парадоксы начали активно изучаться. Вспомнили и о тех, что были выявлены еще древними (в частности, «парадокс лжеца»), изобретали новые: «никогда не говори «никогда», «каждое правило имеет исключение», «всякое обобщение неверно». В логике, лингвистике, математике – повсюду находили не замечаемые ранее противоречия [9].
Таким образом, математика не смогла избежать проникновения в неё парадоксов, как и многие другие науки. Как уже говорилось, наук без парадоксов не существует. Есть парадоксы и в физике. Нужно отметить, что физики в большинстве случаев воспринимают парадоксы спокойнее, чем математики. Это можно объяснить тем фактом, что предмет исследования физики – это окружающий мир, вся существующая действительность, во всем своём многообразии и со всеми своими противоречиями.
Парадоксы в физике были обнаружены ещё в глубокой древности. Их изучению особое внимание уделяли ученые в Древней Греции. Наиболее известными «парадоксами древней науки» являются парадоксы Зенона. Вот некоторые из них:
1) «Дихотомия» или добежит ли бегун до финиша?
Рассуждения бегуна: Прежде, чем я добегу до финиша, мне необходимо пробежать половину дистанции, затем половину оставшейся половины, то есть ¾ всей дистанции. Прежде чем я преодолею последнюю четверть дистанции, мне необходимо пробежать её половину. И так всякий раз! Прежде чем преодолеть какое-то расстояние мне необходимо пробежать его половину. Этим половинам не будет конца. Я никогда не доберусь до финиша.
В.Г. Винокур пишет по поводу этого парадокса: «Даже сейчас, предоставив разным компьютерам формальным образом решить парадокс Зенона, мы убедимся, что они будут делить его до бесконечности, пока самый "умный" из них не напишет, что задача решения не имеет» [2]. На самом же деле, если предположить, что на преодоление первой половины пути бегун затратит 1 минуту, то каждую половину очередного отрезка он пробегает за вдвое меньшее время, чем половину предыдущего отрезка. Бегун преодолеет дистанцию за 2 минуты, хотя за это время ему придется преодолеть бесконечно много половин соответствующих отрезков дистанции.
2) Быстроногий Ахилл хочет поймать черепаху, которая находится на расстоянии 1 км от него.
К тому времени, когда Ахилл добегает до того места, где первоначально находилась черепаха, та успевает уползти вперёд на 10 м. За то время, которое требуется Ахиллу, чтобы пробежать эти 10 м, черепаха снова успевает уползти на какое-то расстояние. И так далее пока Ахилл будет приближаться к черепахе, та всё равно успеет уползти на какое-то расстояние вперёд, хоть на толщину волоса! И все-таки, Ахилл мог поймать черепаху.
Парадоксы Зенона показывают, к каким парадоксальным следствиям приводит представление о неделимых – «атомах» - пространства и времени, имеющих сколь угодно малые, но конечные размеры [10].
Вообще в физике наблюдается такая тенденция: практически любая новая теория изначально воспринималась как парадокс. В механике и теории тяготения, созданных гением И. Ньютона, поначалу видели нечто «туманное» и даже «темное». Но позднее сами критики были осуждены как люди «темные» и отставшие от науки. Положения ньютоновских теорий стали классическими, вошли в учебники и не вызывали недоумения. Споры шли теперь не об их истинности, а о природе их достоверности.
Великое творение А. Эйнштейна теория относительности – это тоже одно из парадоксальных явлений научной мысли. Немногие ученые приняли появление этой теории охотно. Примечателен, например, такой факт. В 1923 году один канадский экономист спросил английского физика Э. Резерфорда, что он думает о теории относительности. «А, чепуха, - ответил он. - Для нашей работы это не нужно». И такое прозвучало в пору, когда теория относительности уже не была в диковинку и Э. Резерфорд был не новичок в науке, а всемирно известный естествоиспытатель.
Таким образом, можно заключить, что практически все науки в своём развитии сталкивались с различными парадоксами. В большинстве случаев сами ученые относятся к парадоксам негативно, их называют болезнью науки, фактами зла. Однако на самом деле все обстоит несколько иначе. Парадоксы – это не болезни, а скорее симптомы, они указывают на изъяны в рассуждениях, на недостатки в теориях, на червоточинки в золотых сердцах научных парадигм. А.В. Сухотин пишет: «К парадоксам следует воспитывать в себе особые симпатии. Ведь в них обнажаются «горячие точки» науки, пункты ее наиболее вероятных продвижений вперед» [9].Следовательно, парадоксы – это скорее полезное явление, а не вредное (как принято считать). Они полезны для науки в целом и, особенно, для её развития, продвижения вперед. Попробуем обосновать наше последнее утверждение.