Например, окончание урока.
Итак, достоверное событие – это событие, наступающее при данных условиях со стопроцентной вероятностью (т.е. наступающее в 10 случаях из 10, в 100 случаях из 100 и т.д.). Невозможное событие – это событие, не наступающее при данных условиях никогда, событие с нулевой вероятностью.
Но, к сожалению (а может быть, и к счастью), не все в жизни так четко и ясно: это будет всегда (достоверное событие), этого не будет никогда (невозможное событие). Чаще всего мы сталкиваемся именно со случайными событиями, одни из которых более вероятны, другие менее вероятны. Обычные люди используют слова “более вероятно” или “менее вероятно”, как говорится, по наитию, опираясь на то, что называется здравым смыслом. Но очень часто такие оценки оказываются недостаточными, поскольку бывает важно знать, на сколько процентов вероятно случайное событие или во сколько раз одно случайное событие вероятнее другого. Иными словам, нужны точные количественные характеристики, нужно уметь охарактеризовать вероятность числом.
Первые шаги в этом направлении мы с вами уже сделали. Мы говорили, что вероятность наступления достоверного события характеризуется как стопроцентная, а вероятность наступления невозможного события – как нулевая. Учитывая, что 100% равно 1, люди договорились о следующем:
1) вероятность достоверного события считается равной 1;
2) вероятность невозможного события считается равной 0.
А как подсчитать вероятность случайного события? Ведь оно произошло случайно, значит, не подчиняется закономерностям, алгоритмам, формулам. Оказывается, и в мире случайного действуют определенные законы, позволяющие вычислять вероятности. Этим занимается раздел математики, который как мы уже сказали, и называется – теория вероятностей.
В практической жизни мы сталкиваемся с различными случайными событиями, причём они происходят с разной частотой: одни чаще, другие реже.
Например: бросаем игральную кость 48 раз и составим таблицу, в которой указаны числа выпадений каждого из цифр: 1,2, 3, 4, 5, 6.
| Цифры | ||||||
| Число выпадений |
Создавая «Теорию вероятностей» великие математики прошлого начинали с эксперимента. Как исследователи нового, мы тоже начнём с проведения опыта. Можно провести его непосредственно, а можно с помощью виртуальной лаборатории.
Подбросим монету. Какова вероятность того, что выпадет герб? Учащиеся утверждают, что это событие является случайным, и интуитивно предполагают, что вероятность его наступления будет 1/2. Но предположения недостаточно. Необходимо провести серию опытов с бросанием. Французский естествоиспытатель Бюффон, изучая случайные события, провёл опыт с подбрасыванием монеты 4040 раз. Герб выпал в 2048 случаях. Следовательно, частота события «выпадение герба» в данном эксперименте равна 2048/4040 
0,507 0,5.
Определение: Отношение частоты появления некоторого события к общему числу событий называют вероятностью события.
Вероятность появления (выпадения) цифры 5 при бросании игральной кости 48 раз равна 
.
Рассмотрим примеры на закрепление материала:
Задание 1.
Какие из следующих событий – случайные, достоверные, невозможные:
1)черепаха научиться говорит;
2)вода в чайнике, стоящим на горячей плите закипит;
3)ваш день рождения – 19 октября
4)день рождение вашего друга – 30 февраля;
5)вы выиграете участвуя в лотереи;
6)вы не выигрываете, участвуя в беспроигрышной лотереи;
7)вы проиграете партию в шахматы;
8)на следующей недели испортиться погода;
9)вы нажали на звонок, а он не зазвонил;
10)после четверга будет пятница;
11)после пятницы будет воскресенье.
Задание 2.
Для каждого из перечисленных событий определите, какое оно: достоверное, возможное, невозможное
1)летом у школьников будут каникулы;
2)1 июня в День защиты детей будет солнечно;
3)после уроков дежурные уберут кабинет;
4)в 11-м классе школьники не будут изучать алгебру;
5)зимой выпадает снег;
6)при включении света, лампочка перегорит;
7) вы выходите на улицу, а на встречу вам идет слон
Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа исходов k, благоприятствующих событию А к числу всех исходов n.
Решение
Сформулируем правило:
- Число всех возможных исходов – N
- Все исходы равновозможны
- Количество благоприятных исходов – N(A)
- P(A) – вероятность события А
P(A) = 
3. Задача с целью закрепления основных понятий темы:
· Вычислить вероятность выпадения любой фиксированной цифры от 1 до 6 при подбрасывании игральной кости.
Решение
4. Серия задач с целью вывода формулы гипергеометрического распределения, используемой во многих практических ситуациях: при исследовании распространения инфекционных заболеваний, при контроле качества изделий и т.д.
· Из урны, в которой находится 3 белых и 4 красных шара наудачу вынимается один. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым?
Решение. Число всех элементарных событий равно 7. Событию А (вынут белый шар) благоприятствуют 3 элементарных события.
· Из урны, в которой находится 3 белых и 4 красных шара наудачу вынимается два. Какова вероятность того, что вынутые шары окажутся белыми?
Решение. Число всех элементарных событий равно 
. Событию А (вынуто два белых шара) благоприятствуют 
элементарных события 
· Из урны, в которой находится 3 белых и 4 красных шара наудачу вынимается три. Какова вероятность того, что будут вынуты два белых и один красный шар?
Решение. Число всех элементарных событий равно 
. Событию А(вынуто 2 белых, 1 красный шар) 
благоприятствуют 
элементарных события
5. В качестве обобщения алгоритма решения предложим ученикам задачу практического характера.
· При игре в “Спортлото” на специальной карточке отмечаются 6 номеров из 49. Во время тиража определяются 6 выиграв-ших номера. Какова при этом вероятность угадать ровно 3 счастливых номера?
Решение. Число всех способов выбора 6 номеров из 49 равно . Три номера из 6 “счастливых” можно выбрать 
способами. Каждый из этих способов может осуществляться вместе с каждым из 
способов выбора 3 номеров из 43 “несчастливых” номеров. Поэтому число всех благоприятных исходов равно 
. А вероятность Р угадать 3 “счастливых” номера равна
Подсчитаем 
6. Рассмотрим задачу общего характера.
· В партии из N деталей имеется n стандартных. Наудачу отобраны m деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно k стандартных.
Решение. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятных событию, к числу всех элементарных исходов:
· Задача-шутка. В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар?
Решение. Так как синих шаров в урне нет, т. е. m=0, а n=15. Следовательно, P(A)=0/15=0. В данном случае событие A – невозможное.
Закрепление изученного
Вопросы к классу:
1) Что мы называем случайным событием?
2) Приведите примеры возможных случайных событий.
3) Что называют вероятностью события?
4) Какие события называем достоверными, невозможными, случайными?
5) Приведите примеры достоверного события и невозможного события.
С целью закрепления изученного материала и алгоритма решения вероятностных задач учащимся предлагается
1. Задачи из типовых экзаменационных вариантов для ГИА и ЕГЭ: Учащиеся делятся на 3 группы. Каждая группа получила по 2 задачи. Задания выполняются на компьютерах. Представитель каждой группы показывает презентацию анализа и хода решения задач.
Самостоятельная работа:
№1 Для каждого из следующих событий введите число всех возможных исходов, число благоприятных исходов и вероятность.
а) В урне 5 белых и 15 черных шаров, из урны наугад вынимается два шара. Какова вероятность того, что они будут белыми?
б) Из русского алфавита случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется согласной?
в) Из слова ВЕРОЯТНОСТЬ случайным образом убирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется гласной?
№2 Определить вероятности следующих событий:
A={при бросании монеты выпал «орел»};
B={при бросании кубика выпала тройка};
C={при бросании кубика выпало четное число};
D={из колоды карт вытянули туза };
E={из колоды карт вытянули шестерку};
F={из колоды карт вытянули не туза};
Рефлексия (5 мин.).
1. На уроке понравилось….
2. На уроке не понравилось….
3. Было сложно решать…
4. Эта тема помогла мне узнать….