Отрицание высказывания A означает, что A не произойдёт и обозначается . Конъюнкция высказываний A и B означает, что произойдёт A и B и обозначается A
B. Дизъюнкция высказываний A и B означает, что произойдёт A или B и обозначается A
B. Строгая дизъюнкция высказываний A и B означает, что произойдёт или A,или B и обозначается A ∆ B.
Двухместная логическая операция, соответствующая обороту “ если…, то… ”, посредством которого образуются условные предложения, называется импликацией. Высказывание “ если A, то B ” записывается в виде .
Логический оператор □ выражает необходимость, а ◊ - возможность.
Для любого чёткого множества A и любого элемента x можно определить характеристическую функцию:
(3.1)
Например, если А – множество букв в слове “ глагол ” (А: ), то для любой буквы кириллицы легко найти характеристическую функцию. Так,
так как буква “ л” входит в слово, а
, так как буква “в” в него не входит.
Множество называется нечётким, если нельзя точно определить, принадлежат ли ему элементы. Нечёткость множества тесно связана с понятием лингвистической переменной (далее – ЛП), значениями которой являются слова или предложения. Например, во фразе “Миша вернётся около десяти часов вечера” ЛП “около десяти часов вечера” принимает значения из множества [21-30; 22-30]: неясно, когда именно вернётся Миша. Во фразе “Её жених – молод” ЛП “молод” принимает значения на огромном интервале [16; 40].
В случае нечёткого множества характеристическая функция, называемая функцией принадлежности, может принимать несколько значений, принадлежащих интервалу [0,1]. Носителем нечёткого множества Supp A называется множество элементов, для которых μ A (x) > 0. Если при каком-то значении x μ A (x) = 1, то множество называют нормальным, а если это – неверно, то – субнормальным.
|
Если максимальное значение μ A (x) достигается в одной точке, то функция μ A (x) называется унимодальной.
Операции конъюнкции и дизъюнкции для нечётких множеств определяется совсем иначе, чем для чётких множеств:
,
(3.2) Операция отрицания нечёткого множества вводится аналогично вероятности отрицания высказывания (2.2):
(3.3)
Индексы референции, которыми могут быть снабжены личные, возвратные местоимения и одушевлённые подлежащие, маркируют актанта – участника ситуации. В случае нечёткого высказывания актант может быть определён несколькими способами, при этом индексы разделяются знаком /. Для отрицания используется знак *.
Пример 1.Даны следующие простые высказывания:
A1 – “ Существительное относится к женскому роду ”,
A2 – “ Существительное стоит в родительном падеже ”,
A3 – “ Существительное стоит во множественном числе ”.
Описать события с помощью высказываний Ai, i =1,2,3:
a) B1 – “ Существительное женского рода стоит в родительном падеже и во множественном числе ”.
b) B2 – “ Существительное женского рода стоит в родительном падеже или во множественном числе ”.
c) B3 – “ Существительное или относится к женскому роду, или стоит в родительном падеже, но не во множественном числе ”.
d) B4 – “ Существительное не относится к женскому роду или стоит не в родительном падеже, но во множественном числе ”.
a) Все высказывания верны, поэтому:
b) Верно первое высказывание, а также второе или третье:
|
c) Либо верно первое высказывание, либо второе и не третье, здесь строгая дизъюнкция:
d) Первое высказывание неверно либо второе неверно, а верно третье:
Пример 2.Дано сложное высказывание: “ Если пойдёт дождь, то останусь дома, а уж если останусь дома, дочитаю книгу, но телевизор не включу ”. Введём простые высказывания: A1 – “ Пойдёт дождь”, A2 – “ Останусь дома ”, A3 – “ Дочитаю книгу ”, A4 – “ Включу телевизор ”. Построить логическую схему предложения.
Из события A1 вытекает высказывание A2, а из него A3 и не A4. Поэтому логическая схема: .
Пример 3.Дано сложное высказывание: “ Если нужно написать отчёт, то займусь этим на выходных или, возможно, отложу на следующую неделю ”. Введём простые высказывания: A1 - “ Написать отчёт”, A2 - “ Займусь этим на выходных ”, A3 - “ Отложу на следующую неделю”. Построить логическую схему предложения.
Из необходимости высказывания A1 следует или высказывание A2 или возможность высказывания A3. Логическая схема: □
Пример 4. Слово содержит несколько букв. Найти функцию принадлежности числа букв слова. Построить дополнение множества. Проверить нормальность и унимодальность множеств, найти их носители.
В слове никак не может быть одна буква, а также более пяти букв. В остальных случаях функции принадлежности вычисляется как вероятность, вычисляемая каждым решающим задание субъективно. Определим универсальное множество как U = {1,2,…,8}. Запишем решение в виде таблицы:
x | ||||||||
![]() | 0,8 | 0,7 | 0,5 | 0,1 |
|
Supp A = {2, 3, 4, 5}. Множество является субнормальным, так как не содержит 1, и унимодальным, так как максимальное значение 0,8 соответствует одному значению x.
Теперь найдём функцию принадлежности для дополнения множества :
x | ||||||||
![]() | 0,2 | 0,3 | 0,5 | 0,9 |
Supp = U. Множество является нормальным, так как содержит 1, но не унимодальным, так как максимальное значение 1 соответствует нескольким x.
Пример 5. В шестисложной русской фразе есть несколько французских (множество A) и английских (множество B) заимствований, причём первых – больше. Найти функции принадлежности числа слов множеств A, B, .
Число английских заимствований не превосходит 3, иначе оно может оказаться больше числа французских заимствований. Поэтому для множеств A и B можно определить функции принадлежности так:
x | ||||||
![]() | 0,8 | 0,7 | 0,6 | 0,3 | 0,1 |
x | ||||||
![]() | 0,6 | 0,8 |
Некоторые слова могут быть заимствованиями из одного из двух языков – английского или французского, это приводит к дизъюнкции множеств (конъюнкция в данном случае невозможна). По формуле (3.2) вычисляем значение функции принадлежности для каждого из значений x:
Max (0; 0) = 0, max (0,8; 0,6) = 0,8, max (0,7; 0,8) = 0,8,
max (0,6; 0) = 0,6, max (0,3; 0) = 0,3, max (0,1; 0) = 0,1.
Теперь запишем эти результаты в виде таблицы:
x | ||||||
![]() | 0,8 | 0,8 | 0,6 | 0,3 | 0,1 |
Пример 6. Найти носитель нечёткого высказывания: “Она вряд ли успеет прочесть книгу”.
Носителем события является интервал, для которого функция принадлежности положительна – то есть, когда существует хоть малейшая вероятность события. В данном случае носитель можно оценить интервалом: [0; 0,4].
Пример 7. Дана фраза: “Коля сказал, что он немного опоздает, а Слава придёт вовремя”. Расставить актантные индексы.
В первой фразе Коля маркируется как i, а местоимение “он”, могущее относиться к Коле или кому-то другому, как i/j. Слава – новый субъект, которому придаётся новый индекс k. Тот, кто опоздает, не может быть Славой, так как Слава придёт вовремя, поэтому местоимение “он” также снабжается индексом *k. Таким образом, разметка всей фразы выглядит так: “Коля i сказал, что он i/ j/ *k немного опоздает, а Слава k придёт вовремя”.