Экзаменационный билет
| Часть А | |
| А1. (1 балл) | -Исследовать функцию на экстремум, на возрастание и убывание. -Интегрирование методом разложения -Интегрирование с помощью замены -Вычислить определенный интеграл. - Вычислить площадь, заключенную между графиками функций. - Вычислить частные производные. -Определить, есть ли у функции двух переменных экстремум.. |
| А2. (1 балл) | |
| А3. (1 балл) | Решить задачу - на классическое определение вероятности; - на определение относительной частоты; - на основные теоремы теории вероятностей; - на формулу Бернулли. |
| А4. (1 балл) | |
| А5. (1 балл) | - Дискретная случайная величина; - Нормальный закон распределения. |
Часть В
В1.1. Теоретический вопрос по математическому анализу. (2 балла)
В1.2 Качественная задача к теор. вопросу по математическому анализу. (1 балл)
В2.1. Теоретический вопрос по теории вероятностей. (2 балла)
В.2.2. Качественная задача к теор. вопросу по теории вероятностей.(1 балл)
Часть С
С1. Более сложное задание по математическому анализу. (2 балла)
С2. Более сложное задание по теории вероятностей. (2 балла)
Если в части А менее 2 баллов, работа не проверяется;
От 3 до 6 баллов – тройка
От 6 до 10 баллов – четверка
От 10 и выше - пятерка
Вопросы для подготовки к экзамену для технологического факультета.
Математический анализ
- Необходимое и достаточное условие возрастания функции на промежутке.
- Необходимое и достаточное условие убывания функции на промежутке.
- Экстремум функции. Необходимое условие существования экстремума. Критические точки. Достаточное условие существования экстремума.
- Выпуклость и вогнутость графика функции. Условие выпуклости и вогнутости графика функции. Точки перегиба. Условие существование точки перегиба.
- Первообразная функции и неопределенный интеграл. Теорема о связи между двумя первообразными функции f(x).
- Свойства неопределенного интеграла (с доказательствами). Таблица интегралов.
- Интегрирование непосредственно и метод подстановки.
- Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
-Интегральная сумма. Понятие определенного интеграла.
- Формула Ньютона – Лейбница.
- Способы вычисления определенного интеграла. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
- Способы вычисления определенного интеграла. Обосновать способ, основанный на нахождении первообразной.
- Способы вычисления определенного интеграла. Интегрирование заменой в определенном интеграле.
- Вычисление площади, прилежащей к оси ОХ.
- Вычисление площади, заключенной между графиками двух функций.
- Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
- Понятие функции нескольких переменных. Способы задания. Область определения.
- Частное приращение функции z=f(x;y) по переменной х, по переменной у. Полное приращение функции z=f(x;y).
-Определение частной производной функции z=f(x;y) по переменной х,по переменной у.
- Понятие экстремума функции двух переменных.
- Необходимое и достаточное условие существования экстремума функции двух переменных.
- Седловые точки.
- Частные производные высших порядков.
Теория вероятностей
- Комбинаторика. Размещения, сочетания, перестановки, правило суммы и произведения (определения, примеры).
- Событие как результат испытания. События невозможные, достоверные, случайные (определения, примеры). Сумма и произведение событий, полная группа событий.
- Классическое определение вероятности события. Вероятности достоверного, невозможного и случайного событий.
- Ограниченность классического определения вероятности. Относительная частота. Статистическая вероятность события.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
- Теорема о сумме вероятностей несовместных событий, образующих полную группу
- Сумма вероятностей противоположных событий
- Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Теорема умножения вероятностей независимых событий.
- Повторные независимые испытания. Формула Бернулли
- Определение случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины (определения, примеры). Закон распределения вероятностей случайной величины. Способы задания закона распределения.
- Математическое ожидание дискретной случайной величины. Связь математического ожидания со средним арифметическим значением наблюдаемых значений дискретной случайной величины.
- Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства.
- Дисперсия дискретной случайной величины. Среднее квадратическое отклонение. Свойства дисперсии.
- Формула для вычисления дисперсии
- Нормальный закон распределения и его параметры, их вероятностный смысл.
- Нормальная кривая. Влияние параметров нормального распределения на положение и форму нормальной кривой.
- Вероятность попадания в заданный интервал случайной величины, распределенной по нормальному закону (вывести формулу).
- Вероятность заданного отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания (вывести формулу). Правило трех сигм.
Примерные задания для части А
- Исследуйте на экстремум и монотонность функцию y = 
x3 – 5х2 +16x.
- Найти интегралы ò(3x+1)5 dx 
. òcos(7x+1)dx; 
- Вычислить площадь, заключенную между графиками функций у=х2-5x-3 и у = -х-3.
- Найти частные производные первого порядка, если 
; z = (х3 +у)ctg y;
- Определить,есть ли у функции z(x;y)= x2 – 3xy+y2+6y+1 экстремум.
- Брошены 2 игральные кости. Найти вероятность того, что произведение выпавших очков равно 6.
- На 10 карточках написаны буквы "к", "к", "л", "л", "о", "о","о". После перемешивания карточки разложены в ряд. Какова вероятность того, что получится слово "колокол"?
- В бригаде 6 женщин и 12 мужчин. Среди них разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что обладателями билетов окажутся 2 женщины и 2 мужчины?
- ОТК обнаружил 5 бракованных книг в партии из случайно отобранных 100 книг. Найти относительную частоту появления бракованных книг.
- Вероятность попадания в мишень при первом выстреле равна 0,8, а при втором и третьем - 0,9. Найти вероятность того, что в серии из трех выстрелов будет один промах.
- Вероятность того, что изделие стандартное, равна 0,9. Найти вероятность того, что из четырех изделий хотя бы одно стандартные.
- В ящике имеется 25 деталей, 10 из которых окрашены. Сборщик последовательно без возвращения наугад извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что А)все они окрашены, Б) две из них окрашены.
- Вероятность того, что цветок левкоя окажется махровым равна 0,7. Найти вероятность того, что а) из 5 высаженных махровых будет 3 б) хотя бы 3.
- На карточках написаны цифры:1,2,1,3,2.Карточки перемешаны, а затем из них случайным образом взяты три. Составить закон распределения случайной величины Х - количество цифр 1 на взятых карточках. Построить многоугольник распределения вероятностей. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
- Независимые случайные величины X и Y заданы законами распределения:
| xi | -2 | yi | -2 | |||
| pi | 0,1 | 0,9 | pi | 0,95 | 0,05 |
Составить закон распределения случайной величины Z=5XY.
- Х и У– независимые случайные величины, М(Х)= - 2, D(Х)=3, М(У) = 0,5, D(У) = 0,2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z= 3Х – (У + 10).
- Для дальнейшей племенной работы требуется отобрать коров с годовым удоем не менее 4200 кг. В некотором стаде коров имеем средний удой 3000 кг и среднее квадратическое отклонение удоя 800 кг., Если считать, что случайная величина Х - удой молока подчинена нормальному закону распределения, то какова вероятность того, что а) корова из этого стада будет отобрана на племя б) годовой удой будет меньше 2900 кг в) годовой удой будет от 2800 до 3000 кг, г) отклонится от среднего не более, чем на 200 кг?