ВОПРОСЫЗАЧЕТА ПО МАТЕМАТИКЕ (1 курс).
РАЗДЕЛ «ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА»
2. Основные алгебраические структуры: группа, кольцо, поле.
3. Определители 2-го, 3-го, n-го порядков, их свойства, способы вычисления. Алгебраические дополнения и миноры. Правило Крамера.
4. Матрицы, линейные операции над ними и их свойства. Умножение матриц.
5. Понятие обратной матрицы. Необходимое и достаточное условие ее существования и методы вычисления.
6. Понятие n-мерного векторного пространства.
7. Ранг матрицы, его вычисление. Теорема Кронекера-Капелли.
8. Теорема о базисном миноре.
9. Проекция вектора на ось, свойства проекций. Направляющие косинусы.
10. Векторы, линейные операции над ними. длина вектора. Линейная зависимость
векторов. Примеры линейно зависимых и независимых векторов.
11. Скалярное произведение векторов, его свойства и выражение через
координаты сомножителей, условие ортогональности векторов.
12. Векторное произведение векторов, его свойства и выражение через
координаты сомножителей, геометрический смысл его модуля.
13. Смешанное произведение векторов, его свойства и выражение через
координаты сомножителей. Геометрический смысл смешанного
произведения, условие компланарности трех векторов.
РАЗДЕЛ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»
1. Понятие об уравнении линии и поверхности. Полярная система координат.
2. Уравнение прямой линии на плоскости: общее, с угловым коэффициентом,
параметрические, канонические. Угол между прямыми, условия
параллельности и перпендикулярности двух прямых.
3. Общее уравнение плоскости в пространстве, расстояние от точки до
плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
4. Различные формы уравнения прямой в пространстве (канонические,
параметрические, как пересечение плоскостей), угол между
прямыми, угол между прямой и плоскостью.
5. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола,
их канонические уравнения эксцентриситет, директрисы, асимптоты
гиперболы.
6. Уравнения поверхности в пространстве. Цилиндрические
поверхности, сфера, конусы, эллипсоид, гиперболоиды,
параболоиды. Изображение поверхностей 2-го порядка, заданных
каноническими уравнениями.
7. Преобразование координат: поворот и параллельный перенос,
формулы перехода.
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
1. Числовые множества. Ограниченные и неограниченные множества. Верхние и нижние грани множества. Предельные точки множества.
2. Предел числовой последовательности. Единственность предела.
Ограниченность сходящейся числовой последовательности.
3. Понятие функции, способы ее задания. Сложные функции.
Предел функции на бесконечности, бесконечный предел.
4. Односторонние пределы. Ограниченность функции, имеющей предел.
5. Бесконечно малые функции и их свойства. Произведение
бесконечно малых функций. Частное от деления бесконечно малой
функции на функцию, имеющую предел, отличный от нуля.
6. Предел суммы, произведения и частного функции.
7. Первый замечательный предел.
9. Второй замечательный предел. Число "е".
10. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые. Замена бесконечно малых эквивалентными при вычислении пределов.
11. Непрерывность функции. Непрерывность основных элементарных функций. Точки разрыва функции и их классификация.
12. Непрерывность функции на отрезке. Свойства непрерывных на отрезке функций: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.
13. Производная функции, ее геометрический смысл.
Уравнение касательной и нормали к плоской кривой. Производные
основных элементарных функций. Таблица производных.
14. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.
15. Параметрически заданные функции и их дифференцирование. Дифференцирование функции, заданной неявно.
16. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа.
17. Раскрытие неопределенностей, правила Лопиталя.
18. Условие возрастания и убывания функций. Точки экстремума. Отыскание наибольших и наименьших значений непрерывной на отрезке функции.
19. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Асимптоты кривой. Общая схема построения графика.
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Понятие метрического пространства. Открытые и замкнутые множества.
2. Функции многих переменных. Частные производные и полный дифференциал ф.м.п.
3. Дифференцирование сложных ф.м.п. Производная по направлению.
4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Частные производные высших порядков.
5. Экстремумы ф.м.п. Достаточное условие экстремума.
БИЛЕТ № (ОБРАЗЕЦ)
- Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов.
- Найти обратную матрицу
: 
. - Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки
, 
и 
- Даны вершины треугольника
Написать уравнения медианы 
и высоты 
- Вычислить предел:
6. Исследовать на непрерывность 
7. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к сфере 
в точке 
.
БИЛЕТ №
- Предел числовой последовательности. Теорема о единственности предела. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.
- Найти обратную матрицу
. - Векторы
и 
образуют угол 
; зная, что 
вычислить угол 
между векторами 
и 
- Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если даны: точка
эллипса и расстояние между его директрисами равно 
. - Вычислить предел:
6. Написать уравнение касательной к графику функции 
в
точке 
.
7. Найти 
, если 
, где 