Задание 22
· РАЗМЕРНОСТЬ И БАЗИС ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА.
| Определение | Размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов.
Размерность пространства  условимся обозначать через dim.
|
| Определение | Векторное пространство называется n -мерным, если в нем можно найти n линейно независимых векторов, но больше, чем n линейно независимых векторов оно не содержит.
|
| Пример | Размерность множества всех плоских векторов равна 2, размерность множества пространственных векторов равна 3. |
| Определение | Пространство, имеющее конечную размерность, называется конечномерным. Пространство, в котором можно найти сколь угодно много линейно независимых векторов, называется бесконечномерным. |
| Определение | Совокупность n линейно независимых векторов n - мерного векторного пространства называется его базисом.
|
| Теорема 1 | Каждый вектор  линейного n- мерного пространства можно представить, и притом единственным способом, в виде линейной комбинации векторов базиса.
|
| Доказательство | Пусть  - произвольный базис пространства и  . Так как любые n+ 1 векторов пространства линейно зависимы, то зависимы, в частности, и векторы , т.е. существуют не равные одновременно нулю числа  , такие, что
 .
При этом  , в противном случае хотя бы одно из чисел  было бы отлично от нуля, и вектора были бы линейно зависимы. Следовательно,
 .
Полагая  , будем иметь  .
Это представление через единственно. Доказывается от противного. Числа  называются координатами вектора  в базисе .
|
| Теорема 2 | Если - линейно независимые векторы пространства и любой вектор линейно выражается через , то эти векторы образуют базис в .
|
| Доказательство | Векторы , по условию, линейно независимы. Покажем, что в пространстве нет более чем n линейно независимых векторов. Выберем произвольные  векторов из :  . По условию, каждый из них можно линейно выразить через :
Рассмотрим матрицу:
 .
Так как число строк этой матрицы равно n, то ее ранг не больше, чем n, и значит, среди ее столбцов имеется не более, чем n линейно независимых. Но так как m>n, то m столбцов этой матрицы линейно зависимы. Следовательно, линейно зависимы и векторы  . Итак, пространство n – мерно и - его базис.
|
· ПЕРЕХОД К НОВОМУ БАЗИСУ
Пусть в пространстве имеется два базиса: и 
.
Первый условимся называть старым базисом, второй – новым. Каждый из векторов нового базиса, по Теореме 1, можно линейно выразить через векторы старого базиса:
(1)
Новые базисные векторы получаются из старых с помощью матрицы
При этом коэффициенты их разложений по старым базисным векторам образуют столбцы этой матрицы. Матрица 
называется матрицей перехода от базиса к базису .
Определитель матрицы не равен нулю, так как в противном случае ее столбцы, а следовательно, и векторы , были бы линейно зависимы.
Обратно, если 
, то столбцы матрицы линейно независимы, и, следовательно, векторы , получающиеся из базисных векторов с помощью матрицы , линейно независимы и значит образуют некоторый базис. Таким образом, матрицей перехода может служить любая квадратная матрица порядка n с отличным от нуля определителем.
Рассмотрим теперь, как связаны между собой координаты одного и того же вектора в старом и новом базисах. Пусть в старом базисе и 
- в новом. Подставляя в последнее равенство вместо их выражение из (1), получим, что
Таким образом, старые координаты вектора получатся из новых его координат с помощью той же матрицы , только коэффициенты соответствующих разложений образуют строки этой матрицы.