12. Фирма Tick-off занимается сборкой наручных часов. Часть материалов она закупает за границей в долларах. В этом месяце рубль подешевел относительно доллара, вследствие чего цена импортных материалов (стоимость которых до этого была равна 30 % от переменных затрат) составила 20 % от первоначальной. Также удалось установить, что постоянные издержки не изменились и составляют 200 тыс. руб., а переменные издержки выросли на 120 тыс. руб. Определите, сколько рублей фирма тратит на отечественные материалы, а также какую долю от переменных издержек стали составлять траты на закупку импортных материалов после удешевления рубля (ответ представьте в виде обыкновенной дроби).
Решение:
1) Пусть первоначальные расходы на импортные материалы равны х, а на отечественные – у. Очевидно, что в таком случае все переменные издержки можно записать как 
. Также заметим, что 
, поэтому
(+2 балла)
2) Стоимость импортных материалов возросла и теперь 
(+2 балла)
3) По условию 
(+2 балла)
4) Отсюда можем найти затраты на отечественные материалы: 
тыс. руб. (+2 балла)
5) Затраты на покупку импортных материалов стали составлять: 
(+3 балла)
Ответ: на отечественные товары фирма тратит 1400 тыс. руб.; 18/53 – новая доля трат на закупку импортных материалов.
Максимум за задание – 11 баллов.
13. На рынке туристических путёвок на планету Кром функция спроса имеет вид 
. Единственный продавец путёвок – компания PtiTUR– несёт издержки на оказание туристических услуг в размере 
,
где Q – количество произведённых туристических путёвок (необязательно является целым числом). Стремясь позаботиться об интересах социально незащищённых слоёв населения, государство требует от компании, чтобы при продаже каждой путёвки ещё одну путёвку она передавала государству бесплатно. Эти путёвки передаются пенсионерам, детям из многодетных семей и семьям военнослужащих, которые не готовы покупать путёвки за деньги.Как изменятся цена путёвки, суммарное количество путёвок и прибыль фирмы PtiTUR после введения государственного регулирования данного рынка?
|
|
Решение:
Обозначим за Q количество проданных путёвок. До вмешательства государства все произведённые путёвки продаются потребителям. Поэтому
(+1 балл)
Функция прибыли является параболой с ветвями вниз, следовательно, максимум находится в вершине:
(+2 балла)
Прибыль фирмы PtiTUR равна 150 × 25 – 50 × 25 = 2500 (+2 балла)
После вмешательства государства:
Обозначим за Q количество проданных путёвок. Для того чтобы продать Q путёвок, необходимо сделать 2 Q путевок. Поэтому:
(+2 балла)
Количество путёвок (включая те путёвки, которые реализованы через государство) равно 
.
Новая прибыль фирмы PtiTUR= 180× 10 – 80× 10 = 1000.
Изменение цен = 180 – 150 = 30, т. е. цена путёвки выросла на 30 (+1 балл)
Изменение суммарного количества путёвок = 20 – 25 = –5, то есть реализовано среди населения меньше путёвок (+1 балл)
Изменение прибыли фирмы = 1000 – 2500 = –1500 (+2 балла)
Ответ: цена путёвки вырастет на 30; суммарное количество путёвок уменьшится на 5; прибыль фирмы уменьшится на 1500.
Максимум за задание – 11 баллов.
14. Купец собирается на ярмарку из Торжка в Москву. Он знает, что индивидуальный спрос каждого покупателя на его товар описывается функцией 
, где P – цена товара, а q – его количество. Число покупателей меняется в зависимости от того, в какой момент купец приедет на ярмарку. Если купец приедет к самому началу ярмарки (в момент 0), покупателей не будет совсем, так же как и после закрытия ярмарки после шести часов её работы. Во время работы ярмарки число покупателей описывается функцией 
, где n – число покупателей, а t – количество часов с момента открытия ярмарки, число покупателей не меняется в течение часа. Купец продаёт свой товар полностью за тот час, к которому он приехал. Через сколько часов после открытия ярмарки должен приехать купец, чтобы получить максимальную прибыль, если у него есть только постоянные издержки, равные 20?
|
|
Решение:
Запишем прибыль купца:
(+4 балла)
Так как выражение 
, то q – это парабола ветвями вниз.
Найдем максимум: 
(+3 балла)
Подставляем:
(+2 балла)
Парабола ветвями вниз, 
(+2 балла)
Допустимо альтернативное решение с меньшим количеством формул:
Заметим, что оптимальный объём продаж каждому покупателю не зависит от времени приезда: если время приезда уже выбрано, то надо просто продавать каждому покупателю товар так, чтобы больше с него выручить.
Оптимальные значения: 
(+6 баллов)
С другой стороны, заметим, что оптимальное время приезда не зависит от цены и индивидуального объёма продаж: если цена уже выбрана (выше мы посчитали, что ), то надо приехать в тот момент, когда покупателей максимальное количество, т. е. взять среднее арифметическое между 0 и 6 (парабола ведь симметрична, пересечения с осью находятся на одинаковом расстоянии от вершины), т. е. 
(+5 баллов)
|
|
Ответ: 3.
Максимум за задание – 11 баллов.
15. Леди Яга чертит планы захвата портов и продаёт их пиратам за 
золотых, где 
– размер команды моряков (без учёта самого пирата, покупающего план), которых необходимо иметь для захвата порта. Один моряк берёт за свои услуги 1 золотой. К Леди Яге одновременно обратились два пирата: Женя и Капитан Евгений. Женя до сих пор действовал один, а вот Капитан Евгений уже имеет лояльную команду из 100 человек, которым не нужно платить. У Леди Яги есть план захвата порта, для которого потребуется команда из 500 человек.
1) Кто из пиратов согласится купить план Леди Яги, если после захвата порта пирату удастся награбить 999 золотых?
Также Яга может обратиться за помощью к капитану форта, чтобы тот не оказывал сопротивления, и тогда для захвата порта будет достаточно всего 
моряков 
. За это капитан попросит половину выручки Леди Яги.
2) Будет ли Леди Яга обращаться за помощью к капитану форта, если она точно знает, что либо Женя, либо Капитан Евгений купит план? Если да, то при каких значениях ?
Решение:
1) Как можно заметить, расходы пирата Жени на захват порта составят 1000 золотых (500 на покупку плана и 500 на найм нужного числа моряков)
(2 балла)
Расходы Капитана Евгения – 900 золотых (если не меньше 100, однако это не наш случай) (2 балла)
Соответственно, Женя потеряет 1 золотой, и ему невыгодно покупать план. Капитан Евгений выиграет 99 золотых и купит план захвата порта (3 балла).
2) Без помощи капитана форта Леди Яга получит 500 золотых. Если же она обратится за помощью, то её выручка составит 
, однако половину ей придётся отдать. Таким образом, у неё останется 
(2 балла)
При условии 
это всегда меньше 500.
Значит, Леди Яга не будет обращаться за помощью к капитану форта при любом (2 балла).
Ответ: 1) Капитан Евгений; 2) нет при любом .
Максимум за задание – 11 баллов.