Задание 9
· ОДНОРОДНЫЕ СЛАУ
| Определение | Однородной СЛАУ называется система, все правые части которой равны нулю одновременно. |
Однородная СЛАУ, записанная в матричном виде, 
всегда совместна, так как 
всегда является ее решением.
Заметим, что если 
- это два решения однородной СЛАУ, то их линейная комбинация также будет решением однородной СЛАУ:
| Теорема | Если однородная квадратная СЛАУ имеет ненулевое решение, то определитель матрицы системы равен нулю. |
| Пример | Задание. Выяснить, имеет ли однородная СЛАУ  ненулевые решения.
Решение. Вычислим определитель матрицы системы:
Так как определитель не равен нулю, то система имеет только нулевое решение 
Ответ. Система имеет только нулевое решение.
|
· ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙ
| Определение | Фундаментальной системой решений (ФСР) однородной СЛАУ называется базис этой системы столбцов. |
| Теорема | Общее решение неоднородной СЛАУ равно сумме частного решения неоднородной СЛАУ и общего решения соответствующей однородной СЛАУ. |
| Пример | Задание. Найти общее решение и ФСР однородной системы 
Решение. Приведем систему к ступенчатому виду с помощью метода Гаусса. Для этого записываем матрицу системы (в данном случае, так как система однородная, то ее правые части равны нулю, в этом случае столбец свободных коэффициентов можно не выписывать, так как при любых элементарных преобразованиях в правых частях будут получаться нули):
с помощью элементарных преобразований приводим данную матрицу к ступенчатому виду.
От второй строки отнимаем первую,
от третьей - четыре первых,
от четвертой - две первых:
Обнуляем элементы второго столбца, стоящие под главной диагональю, для этого
от третьей строки отнимаем три вторых,
к четвертой прибавляем вторую:
От четвертой строки отнимем  третьей и третью строку умножим на  :
Нулевые строки можно далее не рассматривать, тогда получаем, что
Далее делаем нули над главной диагональю, для этого
от первой строки отнимаем третью,
а ко второй строке прибавляем третью:
то есть получаем систему, соответствующую данной матрице:
Или, выразив одни переменные через другие, будем иметь:
Здесь  - независимые (или свободные) переменные (это те переменные, через которые мы выражаем остальные переменные),  - зависимые (связанные) переменные (то есть те, которые выражаются через свободные).
Количество свободных переменных равно разности общего количества переменных  (в рассматриваемом примере  , так как система зависит от пяти переменных) и ранга матрицы  (в этом случае получили, что  - количество ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду): 
Так как ранг матрицы , а количество неизвестных системы , то тогда количество решений в ФСР (для проверки, это число должно равняться количеству свободных переменных).
Для нахождения ФСР составляем таблицу, количество столбцов которой соответствует количеству неизвестных (то есть для рассматриваемого примера равно 5), а количество строк равно количеству решений ФСР (то есть имеем две строки). В заголовке таблицы выписываются переменные, свободные переменные отмечаются стрелкой. Далее свободным переменным придаются любые, одновременно не равные нулю значений и из зависимости между свободными и связанными переменными находятся значения остальных переменных. Для рассматриваемой задачи эта зависимость имеет вид:
Тогда придавая в первом случае, например, независимым переменным значения  ,  получаем, что  .
Полученные значения записываем в первую строку таблицы. Аналогично, беря  ,  , будем иметь, что  , что и определяет второе решение ФСР. В итоге получаем следующую таблицу:
Эти две строчки и есть фундаментальным решением заданной однородной СЛАУ. Частное решение системы:
Общее решение является линейной комбинацией частных решений:
где коэффициенты  не равны нулю одновременно. Или запишем общее решение в таком виде:
 
Придавая константам определенные значения и подставляя их в общее решение, можно будет находить частные решения однородной СЛАУ.
|