1. Напряженность электростатического поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью.
Пусть сферическая поверхность радиуса R (рис. 13.7) несет на себе равномерно распределенный заряд q, т.е. поверхностная плотность 
заряда в любой точке сферы будет одинакова.
Заключим нашу сферическую поверхность в симметричную поверхность S с радиусом r>R. Поток вектора напряженности через поверхность S будет равен
По теореме Гаусса
Следовательно
Сравнивая это соотношение с формулой для напряженности поля точечного заряда, можно прийти к выводу, что напряженность поля вне заряженной сферы такова, как если бы весь заряд сферы был сосредоточен в ее центре.
Для точек, находящихся на поверхности заряженной сферы радиуса R, по аналогии с вышеприведенным уравнением, можно написать
Проведем через точку В, находящуюся внутри заряженной сферической поверхности, сферу S радиусом г<R. Внутри сферы S зарядов нет, т.к. все они расположены на внешней сферической поверхности, т.е. 
Следовательно, по теореме Гаусса, 
и напряженность электростатического поля внутри полой равномерно заряженной сферы будет равна нулю.
2. Электростатическое поле шара.
Пусть имеем шар радиуса R, равномерно заряженный с объемной плотностью. 
В любой точке А, лежащей вне шара на расстоянии r от его центра (r>R), его поле аналогично полю точечного заряда,расположенного в центре шара.
Тогда вне шара
а на его поверхности (r=R)
В точке В, лежащей внутри шара на расстояний r от его центра (r>R), поле определяется лишь зарядом 
, заключенным внутри сферы радиусом r. Поток вектора напряженности через эту сферу равен
с другой стороны, в соответствии с теоремой Гаусса
Из сопоставления последних выражений следует
|
где 
- диэлектрическая проницаемость внутри шара.
3. Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной прямолинейной нити (или цилиндра).
Предположим, что полая цилиндрическая поверхность радиуса R заряжена с постоянной линейной плотностью 
.
Проведем коаксиальную цилиндрическую поверхность радиуса 
Поток вектора напряженности через эту поверхность
По теореме Гаусса
Из последних двух выражений определяем напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной нитью:
4. Напряженность поля, создаваемого, бесконечной равномерно заряженной плоскостью.
Пусть плоскость имеет бесконечную протяженность и заряд на единицу площади равен σ. Из законов симметрии следует, что поле направлено всюду перпендикулярно плоскости, и если не существует никаких других внешних зарядов, то поля по обе стороны плоскости должны быть одинаковы. Ограничим часть заряженной плоскости воображаемым цилиндрическим ящиком, таким образом, чтобы ящик рассекался пополам и его образующие были перпендикулярны, а два основания, имеющие площадь S каждое, параллельны заряженной плоскости (рис 1.10).
Суммарный поток вектора; напряженности равен вектору 
, умноженному на площадь S первого основания, плюс поток вектора через противоположное основание. Поток напряженности через боковую поверхность цилиндра равен нулю, т.к. линии напряженности их не пересекают.
Таким образом, с другой стороны по теореме Гаусса
Следовательно
но 
тогда напряженность поля бесконечной равномерно заряженной плоскости будет равна
В это выражение не входят координаты, следовательно электростатическое поле будет однородным, а напряженность его в любой точке поля одинакова.
5. Напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными плоскостями, заряженными разноименно с одинаковыми плотностями.
Как видно из рисунка 13.13, напряженность поля между двумя бесконечными параллельными плоскостями, имеющими поверхностные плотности зарядов 
и 
, равны сумме напряженностей полей, создаваемых пластинами, т.е.
Таким образом,
Вне пластины векторы от каждой из них направлены в противоположные стороны и взаимно уничтожаются. Поэтому напряженность поля в пространстве, окружающем пластины, будет равна нулю Е=0.
2.3.