В качестве входной комбинации рассматривается двоичный Код Джонсона. Этот код пятиразрядный и им кодируются числа десятичного кода (0-9), поэтому комбинаций не 25=32, а всего 10. Остальные комбинации - неопределённые. В качестве выходной комбинации рассматривается двоичный трёхразрядный код Грея. Число комбинаций кода Грея ровно 8 (23=8). Соответственно, 2 комбинации кода Джонсона остаются неопределёнными для трёхразрядного кода Грея. Поэтому, при составлении таблицы состояний учитываем только 8 комбинаций.
Промежуточные преобразования
Кодовые комбинации трёхразрядного кода Грея получаются путём сложения по модулю два (
) трёхразрядных кодов на все сочетания и соответствующих трёхразрядных кодов на все сочетания, сдвинутых на разряд вправо. При этом последняя цифра (младший разряд) отбрасывается.
Таблица состояний
Таблица состояний заполняется в соответствии с особенностями, указанными в пунктах 4.1. и 4.2.
| Разряды входной комбинации | Разряды выходной комбинации | ||||||
| a | b | c | d | e | z3 | z2 | z1 |
Аналитическая запись логических функций и их минимизация
Обоснование выбора метода минимизации
Для сокращения числа устройств, входящих в состав проектируемой комбинационной схемы необходимо выполнить некоторые преобразования логической функции, которые позволяют получить необходимый результат на выходе с использованием минимально возможного числа входных данных. Такие преобразования называются минимизацией логической функции.
Существует два основных способа минимизации логических функций: а) приведение к МДНФ (минимальной дизъюнктивной нормальной форме); б) приведение к МКНФ (минимальной конъюнктивной нормальной форме). При этом каждый способ минимизации можно вести одним из двух методов. Для МДНФ возможен метод минимизации с помощью карт Карно (по единицам) или метод минимизации с помощью импликатных матриц. Для МКНФ также возможен метод минимизации с помощью карт Карно (по нулям) или метод минимизации с помощью имплицентных матриц.
На основе анализа полученной таблицы состояний видно, что методы минимизации с помощью карт Карно нецелесообразно проводить, как для получения МДНФ, так и для получения МКНФ, поскольку число входных переменных больше, чем четыре. При составлении карт Карно для функций с числом входных переменных большем, чем четыре возникают существенные технический сложности с их разметкой. По этой причине, в рассматриваемой ситуации изящный и наглядный метод минимизации логических функций, коим является минимизация с помощью карт Карно, нецелесообразен.
Решая задачу выбора дизъюнктивной или конъюнктивной совершенной нормальной формы необходимо провести анализ выходной комбинации. При этом необходимо учитывать однородность форм записи. Это означает: либо все функции будут записаны в МКНФ, либо в МДНФ. Соответственно, для начала нужно с помощью таблицы состояний записать функцию в СКНФ (совершенной конъюнктивной нормальной форме) по нулям, или в СДНФ (совершенной дизъюнктивной нормальной форме) по единицам. Так как для каждой выходной функции количество нулей и единиц равное, то целесообразно провести минимизацию как МДНФ, так и в МКНФ методом импликатных и имплицентных матриц, соответственно. После указанных преобразований легко будет определить лучшую форму минимизации для построения комбинационной схемы.
Нахождение МДНФ
Запишем логические функции по «единицам», используя таблицу состояний, в СДНФ по правилам алгебры логики, а именно «нулевой» сигнал примем за инверсию соответствующей входной переменной, а «единичный» сигнал – за саму переменную. Таким образом, получаем дизъюнкцию конъюнктивных членов (сумму произведений), представляющую собой СДНФ:
Далее для каждой из функций проведём операции неполного склеивания, в соответствии с правилами булевой алгебры. И составим импликатные матрицы для каждой из функций в отдельности. В шапке, идущей по горизонтали указываем для каждого столбца один из конъюнктивных членов функции, записанной в СДНФ. Соответственно, количество столбцов совпадает с количеством конъюнктивных членов. В шапке по вертикали записываем результаты неполного склеивания, соответственно число строк матрицы равно числу результатов неполного склеивания. Минимизация по импликатным матрицам провидится таким образом, что отмечаются в строке того или иного результата неполного склеивания те ячейки, которые соответствуют тем конъюнктивным членам, из которых склеивается этот результат. Далее выбираются только те результаты неполного склеивания, которые охватывают все столбцы импликатной матрицы. Таковые результаты неполного склеивания суммируем (проводим операцию дизъюнкции).
Импликатная матрица для функции z3
1 – 2 – 
; 1 – 3 – не склеиваются; 1 – 4 – не склеиваются;
2 – 3 – 
; 2 – 4 – не склеиваются; 3 – 4 - 
| 
| 
| 
| |
|
| + | + | ||
|
| + + | |||
|
| + + |
Импликатная матрица для функции z2
1 – 2 – 
; 1 – 3 – не склеиваются; 1 – 4 – не склеиваются;
2 – 3 – 
; 2 – 4 – не склеиваются; 3 – 4 -
| 
|
|
| |
|
| + | + | ||
|
| + + | |||
|
| + + |
Импликатная матрица для функции z1
1 – 2 – 
; 1 – 3 – не склеиваются; 1 – 4 – не склеиваются;
2 – 3 – не склеиваются; 2 – 4 – не склеиваются; 3 – 4 -
|
|
|
|
| |
|
| + + | |||
|
| + + |
В результате минимизации функций, записанных в СДНФ, получаем функции, записанные в МДНФ:
Нахождение МКНФ
Запишем логические функции по «нулям», используя таблицу состояний, в СКНФ по правилам алгебры логики, а именно «единичный» сигнал примем за инверсию соответствующей входной переменной, а «нулевой» сигнал – за саму переменную. Таким образом, получаем конъюнкцию дизъюнктивных членов (произведение сумм), представляющую собой СДНФ:
Далее для каждой из функций проведём операции неполного склеивания, в соответствии с правилами булевой алгебры. И составим имплицентные матрицы для каждой из функций в отдельности. В шапке, идущей по горизонтали указываем для каждого столбца один из дизъюнктивных членов функции, записанной в СКНФ. Соответственно, количество столбцов совпадает с количеством дизъюнктивных членов. В шапке по вертикали записываем результаты неполного склеивания, соответственно число строк матрицы равно числу результатов неполного склеивания. Минимизация по имплицентным матрицам провидится таким образом, что отмечаются в строке того или иного результата неполного склеивания те ячейки, которые соответствуют тем дизъюнктивным членам, из которых склеивается этот результат. Далее выбираются только те результаты неполного склеивания, которые охватывают все столбцы имплицентной матрицы. Таковые результаты неполного склеивания перемножаем (проводим операцию конъюнкции).
Имплицентная матрица для функции z3
1 – 2 – 
; 1 – 3 – не склеиваются; 1 – 4 – не склеиваются;
2 – 3 – 
; 2 – 4 – не склеиваются; 3 – 4 - 
| 
| 
| 
| |
| + + | |||
| + | + | ||
| + + |
Имплицентная матрица для функции z2
1 – 2 – ; 1 – 3 – не склеиваются; 1 – 4 – не склеиваются;
2 – 3 – не склеиваются; 2 – 4 – не склеиваются; 3 – 4 - 
|
| 
| 
| |
|
| + + | |||
| + + |
Имплицентная матрица для функции z1
1 – 2 – не склеиваются; 1 – 3 – не склеиваются; 1 – 4 – не склеиваются;
2 – 3 – 
; 2 – 4 – не склеиваются; 3 – 4 - не склеиваются
|
|
| 
|
| |
| + | + |
В результате минимизации функций, записанных в СКНФ, выяснилось, что для функции z1 невозможно применить алгоритм минимизации при помощи имплицентных матриц, по причине того, что неполное склеивание дизъюнктивных членов возможно только между двумя из них, а, следовательно, перекрыть все столбцы матрицы не представляется возможным.
Результат минимизации
Основываясь на результатах проведённых минимизаций нужно отметить, что единственным возможным методом для данных функций является минимизация по импликатным матрицам, следовательно, для построения комбинационной схемы будем использовать логические функции, записанные в МДНФ. Выглядят они следующим образом:
