Изучение нового материала.
Первый и второй замечательные пределы.
Первый замечательный предел.
В курсе математического анализа, доказывается, что:
– тот же самый первый замечательный предел.
! Но самостоятельно переставлять числитель и знаменатель нельзя! Если дан предел в виде
, то и решать его нужно в таком же виде, ничего не переставляя.
На практике в качестве параметра 
может выступать не только переменная 
, но и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю.
Пример 1
Найти предел 
Если мы замечаем в пределе синус, то это нас сразу должно наталкивать на мысль о возможности применения первого замечательного предела.
Сначала пробуем подставить 0 в выражение под знак предела (делаем это мысленно или на черновике):
Итак, у нас есть неопределенность вида 
, ее обязательно указываем в оформлении решения. Выражение под знаком предела у нас похоже на первый замечательный предел, но это не совсем он, под синусом находится 
, а в знаменателе 
.
В подобных случаях первый замечательный предел нам нужно организовать самостоятельно, используя искусственный прием. Ход рассуждений может быть таким: «под синусом у нас , значит, в знаменателе нам тоже нужно получить ».
А делается это очень просто:
То есть, знаменатель искусственно умножается в данном случае на 7 и делится на ту же семерку. Теперь запись у нас приняла знакомые очертания.
Когда задание оформляется от руки, то первый замечательный предел желательно пометить простым карандашом:
Что произошло? По сути, обведенное выражение у нас превратилось в единицу и исчезло в произведении:
Теперь только осталось избавиться от трехэтажности дроби:
Кто позабыл упрощение многоэтажных дробей, пожалуйста, освежите материал в справочнике Горячие формулы школьного курса математики.
Готово. Окончательный ответ: 
Если не хочется использовать пометки карандашом, то решение можно оформить так:
“
Используем первый замечательный предел
“
Пример 2
Найти предел 
Опять мы видим в пределе дробь и синус. Пробуем подставить в числитель и знаменатель ноль:
Действительно, у нас неопределенность и, значит, нужно попытаться организовать первый замечательный предел. На уроке Пределы. Примеры решений мы рассматривали правило, что когда у нас есть неопределенность , то нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Здесь – то же самое, степени мы представим в виде произведения (множителей):
Далее, по уже знакомой схеме организовываем первые замечательные пределы. Под синусами у нас 
, значит, в числителе тоже нужно получить :
Аналогично предыдущему примеру, обводим карандашом замечательные пределы (здесь их два), и указываем, что они стремятся к единице:
Собственно, ответ готов:
В следующих примерах, я не буду заниматься художествами в Пэйнте, думаю, как правильно оформлять решение в тетради – Вам уже понятно.
Пример 3
Найти предел 
Подставляем ноль в выражение под знаком предела:
Получена неопределенность , которую нужно раскрывать. Если в пределе есть тангенс, то почти всегда его превращают в синус и косинус по известной тригонометрической формуле 
(кстати, с котангенсом делают примерно то же самое, см. методический материал Горячие тригонометрические формулы на странице Математические формулы, таблицы и справочные материалы).
В данном случае:
Косинус нуля равен единице, и от него легко избавиться (не забываем пометить, что он стремится к единице):
Таким образом, если в пределе косинус является МНОЖИТЕЛЕМ, то его, грубо говоря, нужно превратить в единицу, которая исчезает в произведении.
Дальше по накатанной схеме, организуем первый замечательный предел:
Здесь все вышло проще, без всяких домножений и делений. Первый замечательный предел тоже превращается в единицу и исчезает в произведении:
В итоге получена бесконечность, бывает и такое.
Пример 4
Найти предел 
Пробуем подставить ноль в числитель и знаменатель:
Получена неопределенность (косинус нуля, как мы помним, равен единице)
Используем тригонометрическую формулу 
. Возьмите на заметку! Пределы с применением этой формулы почему-то встречаются очень часто.
Постоянные множители вынесем за значок предела:
Организуем первый замечательный предел:
Здесь у нас только один замечательный предел, который превращается в единицу и исчезает в произведении:
Избавимся от трехэтажности:
Предел фактически решен, указываем, что оставшийся синус стремится к нулю:
Второй замечательный предел.
В теории математического анализа доказано, что:
Данный факт носит название второго замечательного предела.
Справка: 
– это иррациональное число.
В качестве параметра может выступать не только переменная , но и сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности.
Пример 5
Найти предел 
Когда выражение под знаком предела находится в степени – это первый признак того, что нужно попытаться применить второй замечательный предел.
Но сначала, как всегда, пробуем подставить бесконечно большое число в выражение 
, по какому принципу это делается, разобрано на уроке Пределы. Примеры решений.
Нетрудно заметить, что при 
основание степени 
, а показатель – 
, то есть имеется, неопределенность вида 
:
Данная неопределенность как раз и раскрывается с помощью второго замечательного предела. Но, как часто бывает, второй замечательный предел не лежит на блюдечке с голубой каемочкой, и его нужно искусственно организовать. Рассуждать можно следующим образом: в данном примере параметр 
, значит, в показателе нам тоже нужно организовать . Для этого возводим основание в степень , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в степень 
:
Когда задание оформляется от руки, карандашом помечаем:
Практически всё готово, страшная степень превратилась в симпатичную букву 
:
При этом сам значок предела перемещаем в показатель:
Далее, отметки карандашом я не делаю, принцип оформления, думаю, понятен.
Пример 6
Найти предел 
Внимание! Предел подобного типа встречается очень часто, пожалуйста, очень внимательно изучите данный пример.
Пробуем подставить бесконечно большое число в выражение, стоящее под знаком предела:
В результате получена неопределенность 
. Но второй замечательный предел применим к неопределенности вида . Что делать? Нужно преобразовать основание степени. Рассуждаем так: в знаменателе у нас 
, значит, в числителе тоже нужно организовать :
Теперь можно почленно разделить числитель на знаменатель:
Вроде бы основание стало напоминать 
, но у нас знак «минус» да и тройка какая-то вместо единицы. Поможет следующее ухищрение, делаем дробь трехэтажной:
Таким образом, основание приняло вид , и, более того, появилась нужная нам неопределенность . Организуем второй замечательный предел 
.
Легко заметить, что в данном примере 
. Снова исполняем наш искусственный прием: возводим основание степени в 
, и, чтобы выражение не изменилось – возводим в обратную дробь 
:
Наконец-то долгожданное 
устроено, с чистой совестью превращаем его в букву :
Но на этом мучения не закончены, в показателе у нас появилась неопределенность вида 
, раскрывать такую неопределенность мы научились на уроке Пределы. Примеры решений. Делим числитель и знаменатель на :
Готово.
А сейчас мы рассмотрим модификацию второго замечательного предела. Напомню, что второй замечательный предел выглядит следующим образом: . Однако на практике время от времени можно встретить его «перевёртыш», который в общем виде записывается так:
.