Понятия подобия является одним из важнейших в курсе планиметрии. Учащиеся знакомы с реальными предметами, дающими наглядное представление о подобных фигурах (географические карты, фотографии, модели автомобилей, кораблей, и т.д.).
Преобразование подобия широко применяется на практике при выполнении чертежей деталей машин, сооружений, планов местности и др. эти изображения представления представляют собой подобные преобразования воображаемых изображений в натуральную величину. Коэффициент подобия при этом называется масштабом.
Основная цель изучения преобразования подобия – сформировать понятие подобных треугольников, выработать умение применять признаки подобия треугольников.
А.В.Погорелов – 9 класс тема «Подобие фигур» (17ч)
Л.С.Атанасян – 8 класс тема «Подобные треугольники» (19ч)
И.Ф.Шарыгин – 8 класс тема «Подобие» (20ч)
По А.В. Погорелову на изучение подобия фигур отводится 17 часов. Изучается в 9 классах до изучения тем площади. Подобие фигур разделено на 9 тем. В конце главы вводится углы, вписанные в окружность и пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности. В начале дается понятие гомотетии и подобии фигур. Затем рассматривается подобие треугольников, признаки подобия треугольников, подобие прямоугольных треугольников.
Определение (А.В. Погорелов). Преобразование фигур F называется преобразованием подобия если при этом преобразование расстояния между точками изменяется в одно и то же число раз, то есть для любых двух точек X и Y фигуры F и точки X’ и Y’ фигуры F’, в которые они переходят, XY=кXY’.
Две фигуры называются подобными, если они переводятся одна в другую преобразованием подобия.
Признаки подобия треугольников. Два треугольника подобны, если:
1) все их соответственные углы равны (достаточно равенство двух углов);
2) все их стороны пропорциональны;
3) две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключенные между этими сторонами, равны.
Два прямоугольных треугольника подобны, если:
1) их катеты пропорциональны;
2) катет и гипотенуза одного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого;
3) два угла треугольника равны двум углам другого.
Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их диаметров (или радиусов).
По Л.С. Атанасяну в главе 7 подобные треугольники отводится 19 часов. Основное внимание в главе уделено подобным треугольникам. Изучается в 8 классах после глав четырехугольники и площади.
Определение подобных треугольников дается на основе теоремы об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, весьма просто доказываются признаки подобия треугольников. Они широко используются в курсе геометрии. Кроме того, материал, связанный с подобием, позволяет содержательно реализовать межпредметные связи с алгеброй (пропорциональность, уравнения, квадратные корни) и с физикой (например, геометрическая оптика). В конце главы вводится синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.
При изучении данной темы нужно иметь в виду, что свойства подобных фигур будут многократно применяться при дальнейшем изучении курса геометрии. Поэтому следует уделить значительное внимание и время решению задач, направленных на формирование умений доказывать подобие треугольников с использованием признаков и вычислять элементы подобных треугольников.
При изучении признаков подобия достаточно доказать два признака, так как первый доказывается с опорой на теорему об отношении площадей треугольников, имеющих равные углы, а доказательства двух других аналогичны. Применение метода подобия треугольников к доказательствам теорем учащиеся изучают на примере теоремы о средней линии треугольника. С учащимися интересующимися математикой можно рассмотреть задачи на построение методом подобия.
После изучения подобных треугольников рассматривается вопрос о подобии произвольных фигур на интуитивной основе.
В курсе стереометрии в начале 11 класса 9 в параграфе «Преобразование подобия» (не обязательный пункт для изучения на базовом уровне) дается следующее определение (Л.С. Атанасян): Преобразования подобия с коэффициентом к >0 называется отображение пространства на себя. При котором любые точки А и В переходят в такие точки А1, В1, что А1=кВ1.
Два тела называются подобными, если существует такое преобразование подобия, при котором одно из них переходит в другое.
Таким образом, мы рассмотрели два способа изучения подобия треугольников: можно рассмотреть подобные треугольники как частные случаи подобных фигур (А.В.Погорелов) или можно определить подобные треугольники как треугольники, имеющие соответственно пропорциональные стороны и соответственно равные углы (Л.С.Атанасян)