Практическая работа №5.
Тема: «Вычисление определенных интегралов»
Цель: закрепить навыки вычисления определенных интегралов различными методами
Теоретическая часть.
Определённым интегралом от непрерывной функции f (x) на конечном отрезке [ a, b ] (где 
) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. В общем виде определенный интеграл записывается так:
Нижний предел интегрирования стандартно обозначается буквой 
.
Верхний предел интегрирования стандартно обозначается буквой 
.
Отрезок 
называется отрезком интегрирования.
Теорема Ньютона-Лейбница
Если функция f(x) непрерывна на отрезке 
и F(x) – первообразная функции f(x) на этом отрезке, то
Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.
При вычислении интегралов ее часто записывают в виде
Например, 
= 
Этапы решения определенного интеграла следующие:
1) Сначала находим первообразную функцию 
(неопределенный интеграл). Обратите внимание, что константа 
в определенном интеграле не добавляется. Обозначение 
является чисто техническим, и вертикальная палочка не несет никакого математического смысла, по сути – это просто отчёркивание.
2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: 
.
3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: 
.
4) Рассчитываем разность 
, то есть, находим число.
Свойства определённого интеграла
1. 
2. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла:
3. Определённый интеграл от суммы двух функций равен сумме определённых интегралов от этих функций:
4. При перестановке пределов интегрирования определённый интеграл меняет знак на противоположный:
5. Интеграл по отрезку равен сумме интегралов по его частям:
где a<c<b.
Метод непосредственного интегрирования
Пример 1. Вычислите определенный интеграл 
.
Решение.
Используя формулы (1), (2), получим
Пример 2. Вычислите определенный интеграл 
.
Решение.
Используя формулу (7), получим
.
Пример 3. Вычислите определенный интеграл 
.
Решение.
Используя формулу (1), получим
.
Пример 4. Вычислите определенный интеграл 
.
Решение.
Используя формулу (16), получим
.
Метод замены переменной
Пример5. Вычислите определенный интеграл 
.
Решение.
Выполняя замену переменных и используя формулу (1), получим
Метод интегрирования по частям
Интегрирование по частям выполняется по формуле
.
Пример 6. Вычислите определенный интеграл 
.
Решение.
| ХОД РАБОТЫ Внимательно изучите теоретическую часть практической работы, основные и дополнительные источники и дайте развёрнутые ответы на контрольные вопросы: 1. Дайте определение определённого интеграла 2. Запишите формулу Ньютона –Лейбница, назовите её компоненты. 3. Какие свойства определенных интегралов вы знаете. 4. Запишите этапы решения определённого интеграла. 5. Приведите приемы решения определённых интегралов методами непосредственного интегрирования, подстановки и по частям. |
Основные источники:
1. Григорьев С.Г., Иволгина С.В. «Математика»: учебник для студ. образоват. учреждений сред.проф. образования под редакцией В.А. Гусева. – 10-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2018.
Дополнительные источники:
2. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. «Математика» учебник для средних спец. учебных заведений -5 изд., переработанное и доп. – М.: издательство Юрайт, 2015.
3. Богомолов Н.В. практические занятия по математике: учебное пособие для СПО / Н.В. Богомолов. – 11-е изд., перераб. И доп. –М.: издательство Юрайт, 2015.
4. Федеральное хранилище Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов [Электронный ресурс] / Национальный фонд подготовки кадров – Электрон.дан. – Режим доступа: https://school-collection.edu.ru/catalog/– Загл. с экрана;
5. Единое окно доступа к образовательным ресурсам [Электронный ресурс]: каталог образовательных Интернет - ресурсов/ ФГУ ГНИИ ИТТ «Информика». – Электрон.дан. – Режим доступа: https://window.edu.ru/– Загл. с экрана