Электростатика и электрический ток

Примеры решения задач

Задача 1

Определить напряжённость поля, создаваемого зарядом, равномерно распределённым по тонкому прямому стержню с линейной плотностью 200 нКл/м, в точке, лежащей на перпендикуляре, восстановленном в середине стержня, на расстоянии 40 см от его середины. Длина стержня 60 см.

Решение

Разобьем стержень на бесконечно малые элементы dl=dy; y – координата данного элемента (рис.1). Заряд элемента dq= τ dy можно считать точечным. Напряженность поля, созданного зарядом dq в точке А на расстоянии r от заряда, равна:

, (1)

где

; (2)

α – угол между перпендикуляром к стержню и радиус-вектором r элемента стержня, проведенным из точки А. Направление вектора напряженности см. на рис.1. Так как , то , то

. (3)

Найдем проекции dE на координатные оси:

; , (4)

Наконец, проекции полной напряженности на оси рассчитываются интегрированием:

(5)

причем интегрирование производится по всей длине стержня. Здесь использован принцип суперпозиции в проекциях на оси. Полная напряженность вычисляется по теореме Пифагора:

. (6)

С учётом (1) – (4) получим из (5):

, (7)

Постоянную величину выносим за знак интеграла и проставим пределы интегрирования: угол α изменяется от (–α₀) до α₀, где . Далее, первообразная функция от – это , а от – . Тогда

Окончательно получаем для напряженности:

Ответ: E =5.4^.10³ В/м.

Задача 2

На двух коаксиальных бесконечных цилиндрах радиусами 5 см и 10 см равномерно распределены заряды с линейными плотностями заряда τ₁=100 нКл/м и τ₂=-50 нКл/м соответственно. Пространство между цилиндрами заполнено парафином с диэлектрической проницаемостью 2. Найти напряженность электрического поля в точках, удаленных от оси цилиндров на расстояния 3 см, 9 см, 15 см.

Решение

Симметрия задачи позволяет воспользоваться теоремой Гаусса: поток вектора напряженности электростатического поля через любую замкнутую поверхность равен сумме свободных зарядов, охваченных этой поверхностью, деленной на (εε₀):

. (1)

Здесь α – угол между вектором и нормалью к поверхности в данной точке. Возьмем Гауссову поверхность в виде цилиндра, коаксиального данным, высота которого равна h, а радиус r. Вектор напряженности электростатического поля может быть направлен только перпендикулярно боковой поверхности цилиндра, параллельно основаниям, (см. рис.2), тогда в левой части (1) надо учитывать только вклад через боковую поверхность цилиндра (для оснований α=90⁰, cosα=0), причем для боковой поверхности α=0, cosα=1. Кроме того, в силу симметрии значение напряженности в любой точке боковой поверхности Гауссова цилиндра одинаково, и значение Е можно вынести за знак интеграла. Тогда

(2)

где – площадь боковой поверхности Гауссова цилиндра.

Теперь вычислим правую часть (1). При этом нужно рассмотреть 3 случая:

1) r₁<R₁. В этом случае внутрь Гауссовой поверхности не попадают заряды (q=0), и тогда из (1) и (2) следует, что E₁=0.

2) R₁<r₂<R₂. Внутрь Гауссовой поверхности попадают заряды, находящиеся только на внутреннем цилиндре радиуса R₁ (см. рис.), поэтому суммарный заряд (по определению линейной плотности заряда):

q=τ ₁ h. (3)

Из (1) – (3) получим: , откуда . Здесь сделана замена .

3) R₂<r₃. Теперь Гауссова поверхность охватывает оба цилиндра, несущие свободные заряды с линейными плотностями τ₁ и τ₂, но при этом она проходит вне диэлектрика, так что надо положить ε=1, а q= (τ₁+τ₂) h, тогда

Ответ: E ₁=0; E ₂=10⁴ В/м; E ₃=6^.10³В/м.

Задача 3

Определить потенциал поля, создаваемого зарядом, равномерно распределённым по тонкому прямому стержню с линейной плотностью 200 нКл/м, в точке, лежащей на перпендикуляре, восстановленном в одном из концов стержня, на расстоянии 40 см от него. Длина стержня 30 см.

Решение

Разобьем стержень на бесконечно малые элементы dl=dy; y – координата данного элемента (рис.3). Заряд элемента dq=τdy можно считать точечным. Потенциал поля, созданного зарядом dq в точке А на расстоянии r от заряда, равен:

, (1)

где

(2)

По принципу суперпозиции полный потенциал

. (3)

Интегрирование ведется по всей длине стержня. Тогда

(4)

Здесь . Константа вынесена за знак интеграла и использовано, что первообразной функцией для функции является , в чем можно убедиться дифференцированием:

По формуле (4) вычисляем потенциал:

Ответ: φ=1250 В.

Задача 4

На двух коаксиальных бесконечных цилиндрах радиусами 5 см и 10 см равномерно распределены заряды с линейными плотностями заряда τ₁=100 нКл/м и τ₂=-50 нКл/м соответственно. Пространство между цилиндрами заполнено парафином с диэлектрической проницаемостью 2. Найти разность потенциалов цилиндров.

Решение

Воспользуемся результатами, полученными в задаче 2: напряженность электростатического поля между цилиндрами, при R ₁< r < R ₂, вычисленная по теореме Гаусса, равна:

. (1)

По формуле связи между напряженностью и потенциалом

, (2)

где интеграл удобнее брать по силовой линии поля, так что , так как направление напряженности совпадает с направлением радиус-вектора и элемента длины контура интегрирования , α=0. Подставив (1) в (2), получим:

, .

Ответ: Δ φ =624 В.

Задача 5

Напряженность поля воздушного конденсатора, заряженного и отключенного от источника, равна E ₀. В конденсатор параллельно обкладкам поместили пластину диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε. Найти поверхностную плотность связанных зарядов на гранях диэлектрика, выразить ее через поверхностную плотность свободных зарядов на обкладках конденсатора; найти напряженность поля в диэлектрике, а также напряженность поля, созданного только связанными зарядами; значение вектора электрического смещения и поляризованности диэлектрика.

Решение

Напряженность поля в диэлектрике уменьшается по сравнению с напряженностью в вакууме в ε раз, поэтому

. (1)

Суммарное (полное) поле в диэлектрике складывается из поля свободных зарядов и связанных (индуцированных) : , но и направлены противоположно (см. рис.4), поэтому E=E₀–E′,

. (2)

Напряженность поля связанных зарядов можно выразить через поверхностную плотность связанных зарядов (напряженность поля конденсатора):

, (3)

тогда с учетом (2):

. (4)

Аналогично, напряженность поля только свободных зарядов , тогда из (4):

. (5)

Вектор электрического смещения , поэтому

. (6)

Далее, так как и векторы , и направлены одинаково, то:

. (7)

Можно выполнить проверку (7): по определению вектор поляризации равен суммарному дипольному моменту единицы объема вещества:

, (8)

а дипольный момент пластины диэлектрика равен произведению связанного заряда, локализованного на одной из граней , на плечо диполя – толщину пластины d, тогда

, (9)

так как объем пластины Δ V = S ^. d. Из (4) и (9) получаем (7).

Ответ: ; ; ; ; ; .

Задача 6

Два одинаковых плоских воздушных конденсатора ёмкостью по 100 пФ каждый соединены в батарею последовательно. Определить, на сколько изменится ёмкость батареи, если пространство между пластинами одного из конденсаторов заполнить парафином с диэлектрической проницаемостью 2.

Решение

Общую ёмкость при последовательном соединении конденсаторов С ₁ и С ₂ можно: найти из формулы: . Поэтому общая ёмкость батареи, состоящей из двух одинаковых конденсаторов ёмкостью С ₀ (до заполнения одного из конденсаторов парафином) равна: . После заполнения парафином одного из конденсаторов его ёмкость , а до заполнения была равна , то есть ёмкость возросла в ε раз: . Найдём новую общую ёмкость батареи: . Таким образом, изменение ёмкости батареи равно: . Подставим численные значения: .

Ответ: .

Задача 7

Электрическое поле создано заряженной (Q =0.2 мкКл) металлической сферой радиусом 5 см. Какова энергия поля, заключенного в сферическом слое, ограниченном сферой и концентрической с ней сферической поверхностью, радиус которой в 3 раза больше радиуса сферы?

Решение:

Энергию поля, заключенную в сферическом слое, будем находить через объемную плотность энергии, равную по определению

, (1)

а для энергии электростатического поля

. (2)

Напряженность электростатического поля, созданного уединенной металлической заряженной сферой, вне этой сферы (при r > R ₀) такая же, как и напряженность поля точечного заряда, находящегося в центре сферы:

, (3)

причем будем считать, что ε=1 (поле в вакууме).

Из (1) – (3) следует, что энергия, заключенная в любом малом объеме dV, равна:

. (4)

Поскольку поле сферически симметрично, в качестве dV следует брать тонкий шаровой слой, концентрический данной сфере, с внутренним радиусом r, внешним радиусом (r + dr), тогда в пределах этого слоя значение напряженности можно считать одинаковым и равным (3). Объем слоя можно найти, перемножив площадь сферы на его толщину, так как слой тонкий:

. (5)

Наконец, искомую энергию находим, проинтегрировав (4) по объему, то есть в пределах R ₀< r < R:

Ответ: W =2.4мДж.

Задача 8

Пучок катодных лучей, направленный параллельно обкладкам плоского конденсатора, на пути 4 см отклоняется на расстояние 20 мм от первоначального направления. Какую начальную скорость имеют электроны катодного луча? Напряженность электрического поля внутри конденсатора 2.25 кВ/м.

Решение

На электрон в электрическом поле конденсатора действует сила (рис.2). Ускорение электрона направлено вниз и равно:

Проекции ускорения:

Найдём проекции начальной скорости электрона:

Координаты электрона в момент вылета из конденсатора:

Здесь t – время движения электрона в конденсаторе. Отсюда получим: , .

Вычисления:

Ответ:

Задача 9

Определить силу тока в сопротивлении R₃ и напряжение на концах этого сопротивления (рис.10). ε₁=1 В, ε₂=5 В, R₁=1 Ом, R₂=2 Ом, R₃=3 Ом.

Решение:

Для решения задачи используем правила Кирхгофа. В первую очередь выберем направления токов во всех ветвях цепи (в данной задаче их три) и проставим обозначения токов (см. рис.11). В цепи два узла (b и e), следовательно, по первому правилу должно быть записано одно уравнение (на одно меньше, чем количество узлов): – алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю. Запишем это правило для узла b:

I₁–I₂+I₃=0, (1)

причем токи, заходящие в узел, берем с положительным знаком, выходящие – с отрицательным.

По второму правилу Кирхгофа записываем два оставшихся уравнения (всего уравнений столько же, сколько токов): – алгебраическая сумма падений напряжений на сопротивлениях в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме электродвижущих сил. Здесь также нужно соблюдать правила знаков: если направление обхода контура на данном участке противоположно направлению тока, то падение напряжения берем с отрицательным знаком; если ЭДС проходим от плюса к минусу, то берем ее с отрицательным знаком.

Таким образом, получим для контуров abef и abcdef:

I₁R₁+I₂R₂= ε₁ (2)

I₁R₁–I₃R₃= ε₁– ε₂. (3)

Решаем систему уравнений (1) – (3); из (1) получим:

I₂=I₁+I₃, (4)

После подстановки (4) в (2) и замены в (2) и (3) известных величин на их численные значения:

3I₁+2I₃=1, (5)

I₁–3I₃=–4. (6)

Из (4): I₁=3I₃–4, после подстановки в (5): , напряжение U₃ найдем по закону Ома для участка цепи: U₃= I₃R₃=1.18^.3=3.55 В.

Ответ: I₃=1.18 А; U₃= 3.55 В.

Задача 10

Сила тока в проводнике сопротивлением 12 Ом равномерно убывает от максимального значения до нуля за 10 с. Какое количество теплоты выделится в этом проводнике за указанный промежуток времени, если при этом по проводнику прошел заряд 50 Кл?

Решение:

Запишем закон, по которому изменяется со временем сила тока в проводнике. Ток убывает равномерно, то есть по линейному закону, от максимального значения I ₀, тогда: