Министерство образования Тверской области
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
«Бологовский колледж»
Реферат
Тема «Понятие дифференциала и его приложения, выпуклость и точки перегиба.»
Работу выполнил
студент 22 группы
Голубев Владислав
г.Бологое
Дифференциалом функции называется линейная относительно 
часть приращения функции. Она обозначается как 
или 
. Таким образом:
Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции y = f (x) равен приращению ординаты касательной S, проведённой к графику этой функции в точке M(x; y), при изменении x (аргумента) на величину 
Дифференциал, 
является главной, линейной относительно 
частью приращения функции; чем меньше , тем большую долю приращения составляет эта часть. В этом можно убедиться, мысленно передвигая перпендикуляр, опущенный из точки P (см. рисунок) к оси Ox, ближе к началу координат. Поэтому при малых значениях (и при 
) приращение функции можно приближенно заменить его главной частью 
, т.е.
Свойства дифференциала
Пусть u и v − функции переменной x. Дифференциал обладает следующими свойствами:
1. Постоянный коэффициент можно выносить за знак дифференциала:
d(Cu)=Cdu, где C − постоянное число.
2. Дифференциал суммы (разности) функций:
d(u±v)=du±dv.
3. Дифференциал постоянной величины равен нулю:
d(C)=0.
4. Дифференциал независимой переменной x равен ее приращению:
dx=Δx.
5. Дифференциал линейной функции равен ее приращению:
d(ax+b)=Δ(ax+b)=aΔx.
6. Дифференциал произведения двух функций:
d(uv)=du⋅v+u⋅dv.
7. Дифференциал частного двух функций:
d(uv)=du⋅v−u⋅dvv2.
8. Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента:
|
|
dy=df(x)=f′(x)dx.
Как видно, дифференциал функции dy отличается от производной лишь множителем dx. Например,
d(xn)=nxn−1dx,d(lnx)=dxx,d(sinx)=cosxdx
и так далее.
Выпуклость функции, точки перегиба
График дифференцируемой функции называется выпуклым в интервале если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.
Точка 
называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если в данной точке существует касательная к графику функции (она может быть параллельна оси Оу) и существует такая окрестность точки 
, в пределах которой слева и справа от точки М график функции имеет разные направления выпуклости.
Другими словами, точка М называется точкой перегиба графика функции, если в этой точке существует касательная и график функции меняет направление выпуклости, проходя через нее.
Необходимое условие существования точки перегиба функции 
.
Если функция 
дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки 
и точка является точкой перегиба функции , то 
.
Достаточные условие существования точки перегиба.
Если функция 
дважды дифференцируема в некоторой выколотой окрестности точки 
и 
меняет знак при переходе через , то точка является точкой перегиба функции .
Если функция в некоторой окрестности точки 
раз непрерывно дифференцируема, причем нечётно и 
, и 
при 
, а 
, то точка является точкой перегиба функции .