Примеры различных комбинаторных задач

Комбинаторика. Задачи комбинаторики. Основные понятия.

Функция n-факториал (n!)

Определение. Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают n! и называют «эн факториал»: .

n	1	2	3	4	5	6	7
n!	1

1. Размещения. или

2. Перестановки. или

3. Сочетания, их свойства. или

; .

Примеры.

№1. Упрости выражение: а) ; б) .

Решение: а)

б) .

Пример 7. Решите уравнения: а) ; б) .

Решение: а) . б)

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; х=2; х=-5,- не удовл. ОДЗ.

D=169, х=8, х=21. Ответ:8 и 21. Ответ: 2

Понятие комбинаторных задач. Примеры комбинаторных задач

Определение. Задачи, в которых производится подсчёт всевозможных различных соединений (комбинаций), составленных из конечного числа элементов по некоторому правилу, называются комбинаторными.

Напомним:

1. Размещениями из m элементов по n в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения.

Обозначаются размещения символом и вычисляются по формулам:

- всего n -множителей или .

Задача №1. В группе 25 студентов. Сколькими способами могут быть выбраны староста и замстаросты?

Решение. Пусть сначала выбирается староста. Так как каждый член группы может быть старостой, то, очевидно, есть 25 способов его выбора. Тогда замстаросты может стать каждый из оставшихся 24 человек. Любой из 25 способов выбора старосты может осуществиться вместе с любым из 24 способов выбора замстаросты, поэтому существует способов их выбора. Тоже получим, используя формулу: . . Ответ: 600.

2. Перестановками из n элементов называются такие соединения из всех n элементов, которые отличаются друг от друга порядком расположения элементов.

Обозначаются перестановки символом и вычисляются по формуле

Перестановки представляют собой частный случай размещений из n элементов по n элементов: или

Задача №2. На собрании пожелали выступить 4 человека. Сколькими способами можно расположить их в списке выступающих, если выступает человек один раз?

Решение. Так как каждый из выступающих может быть первым, то это уже 4 способа (комбинации), из оставшихся трёх человек каждый может быть вторым в списке – 3 комбинации, из оставшихся двух человек каждый может быть третьим в списке – 2 комбинации и из оставшегося одного человека он может быть четвёртым (последним) – 1 комбинация. Значит, . Действительно, . Ответ: 600 способов.

3. Сочетаниями из mэлементов по n в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

Задача №3. Для проведения экзамена по математике создана комиссия из двух преподавателей. Сколько различных комиссий можно образовать из пяти преподавателей?

Решение. . (комиссий).

Ответ: 10 комиссий.

Примеры различных комбинаторных задач

Пример 1. Сколькими способами в бригаде, состоящей из пяти рабочих, можно распределить три путёвки: в дом отдыха, в санаторий и на турбазу?

Решение: . Ответ: 60 способов.

Пример 2. В поезде 10 вагонов. Сколькими способами можно распределить по вагонам 10 проводников, если за каждым вагоном закрепляется один проводник?

Решение: . . Ответ: 3628800 способов.

Пример 3. Сколько можно изготовить флажков, состоящих из трёх горизонтальных полос разного цвета, если имеется материал следующих цветов: белый, синий, красный, жёлтый, зелёный и чёрный?

Решение: . Ответ: 120 флажков.

Пример 4. В бригаде ремонтных работ факультета СПО 15 студентов. Сколькими способами их можно разбить на три бригады численностью 3,7 и 5 человек?

Решение: . Ответ: 360360 способов.

Пример 5. Из 12 красных и 8 белых гвоздик надо составить букет так, чтобы в нём были 3 красные и 2 белые гвоздики. Сколькими способами можно составить такой букет?

Решение: . Ответ: 6160 способов.