Лабораторная работа №3
1.1. Выбор типа ЦФ.
Двум типам ЛДС — нерекурсивной(КИХ) и рекурсивной (БИХ) — соответствуют два типа ЦФ:
– КИХ-фильтры (FIR filters);
– БИХ-фильтры (IIR filters).
Свойства БИХ фильтров
БИХ-фильтр описывается передаточной функцией общего вида:
и при (N–1)≤(M–1) (по умолчанию) имеет порядок R = M–1. Сложность БИХ-фильтра определяется по- рядком R передаточной функции. БИХ-фильтры характерны следующими особенностями:
нелинейной ФЧХ;
необходимостью проверки на устойчи- вость.
1.2. Задание требований к характеристикам ЦФ.
При синтезе частотно-избирательных БИХ-фильтров с существенно нелинейной ФЧХ последняя обычно не контролируется, и требования задаются к АЧХ. Они не отли- чаются от требований к АЧХ КИХ-фильт- ров, за тем исключением, что для рассматри- ваемого далее метода синтеза значение АЧХ в полосе пропускания не превышает едини- цы. Кроме того, для БИХ-фильтров требо- вания задаются к характеристике затуха- ния — АЧХ (дБ) и включают в себя:
• частоту дискретизации fд (Гц);
• граничные частоты полос пропускания (ПП) и полос задерживания (ПЗ), для ко- торых введены условные обозначения:
– fχ — граничная частота ПП для ФНЧ и ФВЧ;
– f k— граничная частота ПЗ для ФНЧ и ФВЧ;
– f–χ, fχ — левая и правая граничные час- тоты ПП для ПФ и РФ;
– f–k, fk — левая и правая граничные часто- ты ПЗ для ПФ и РФ;
• допустимые отклонения от Â(f) (дБ): – amax (дБ) — максимально допустимое за- тухание в ПП; – amin (дБ) — минимально допустимое за- тухание в ПЗ. В статье рассматривается синтез оптималь- ных БИХ-фильтров методом билинейного Z-преобразования на основе аналоговых фильтров-прототипов (АФП). Идея синтеза БИХ-фильтров на основе АФП возникла из желания воспользоваться давно известными и хорошо себя зарекомен- довавшими методами синтеза аналоговых фильтров. Обоснование такой возможности вытекает из следующих положений:
• передаточные функции АФП и БИХ-филь- тров — дробно-рациональные;
• импульсные характеристики АФП и БИХ- фильтров — бесконечные. Для того чтобы подчеркнуть контраст ти- па фильтра (аналоговый или цифровой), бу- дем использовать аббревиатуры АФП и ЦФ, по умолчанию подразумевая под ЦФ БИХ- фильтр.
Процедура синтеза БИХ фильтра
Процедура синтеза ЦФ на основе АФП включает в себя [4]:
1. Задание требований к АЧХ ЦФ.
2. Выбор метода синтеза.
3. Формирование требований к АЧХ АФП.
4. Выбор типа аппроксимирующей функции.
Четырем типам аппроксимирующих функ- ций соответствуют четыре разновидности аналоговых (и цифровых) фильтров:
– Баттерворта (Butterwhorth) — с АЧХ, максимально плоской в ПП и монотон- ной в ПЗ;
– Чебышева I рода (Chebyshov Type I) — с АЧХ, равноволновой в ПП и монотон- ной в ПЗ;
– Чебышева II рода (Chebyshov Type II) — с АЧХ, максимально плоской в ПП и рав- новолновой в ПЗ;
– Золотарева – Кауэра (эллиптические фильтры) (Eleptic) — с АЧХ, равновол- новой в ПП и ПЗ.
5. Расчет передаточной функции АФП.
6. Преобразование передаточной функции АФП в передаточную функцию ЦФ.
Заданы требования к АЧХ ФНЧ Значения amax = 0,4455 дБ и amin = 40 дБ (rp и rs). Синтезировать оптимальные БИХ-фильтры Баттерворта, Чебышева I и II рода и Золотарева – Кауэра методом би- линейного Z-преобразования:
>> [R1,WDn1]=buttord(WDp,WDs,rp,rs);
>> [R2,WDn2]=cheb1ord(WDp,WDs,rp,rs);
>> [R3,WDn3]=cheb2ord(WDp,WDs,rp,rs);
>> [R4,WDn4]=ellipord(WDp,WDs,rp,rs);
>> [b1,a1]=butter(R1,WDn1);
>> [b2,a2]=cheby1(R2,rp,WDn2);
>> [b3,a3]=cheby2(R3,rs,WDn3);
>> [b4,a4]=ellip(R4,rp,rs,WDn4); Выведем рассчитанные значения порядков R1, R2, R3, и R4 соответственно оптималь- ных ФНЧ Баттерворта, Чебышева I и II рода и Золотарева – Кауэра:
>> R=[R1 R2 R3 R4] R = 12 7 7 5 Поскольку свойство оптимальности син- тезируемых ЦФ сохраняется, их порядки сов падают с порядками соответствующих АФП. Построим графики АЧХ БИХ-фильтров ФНЧ Баттерворта, Чебышева I и II рода и Золотарева – Кауэра на густой сетке частот (выберем 1000 точек) в основной полосе [0; fд/2] и одинаковом диапазоне [0;1] по оси ординат, установленном с помощью функции ylim([0 1]). АЧХ рассчитывается с помощью функции freqz (рис. 2): >> %f — густая сетка частот >> %Ha1,Ha2,Ha3,Ha4 — передаточные функции АФП Баттерворта, ѕ Чебышева I и II рода и Золотарева – Кауэра
>> Fs=8000;
>> f=0:((Fs/2)/1000):Fs/2; >> Ha1=freqz(b1,a1,f,Fs); MAG1=abs(Ha1);
>> Ha2=freqz(b2,a2,f,Fs);
MAG2=abs(Ha2);
>> Ha3=freqz(b3,a3,f,Fs); MAG3=abs(Ha3);
>> Ha4=freqz(b4,a4,f,Fs); MAG4=abs(Ha4);
>> subplot(2,2,1),plot(f,MAG1),xlabel('f(Hz)'),grid,... ylabel('MAGNITUDE'),title('Digital Filter Butterworth'),ylim([0 1])
>> subplot(2,2,2),plot(f,MAG2),xlabel('f(Hz)'),grid,... ylabel('MAGNITUDE'),title('Digital Filter Chebyshov I'),ylim([0 1])
>> subplot(2,2,3),plot(f,MAG3);xlabel('f(Hz)'),grid,... ylabel('MAGNITUDE'),title('Digital Filter Chebyshov II'),ylim([0 1])
>> subplot(2,2,4),plot(f,MAG4),xlabel('f(Hz)'),grid,... ylabel('MAGNITUDE'),title('Digital Filter Eleptic'),ylim([0 1])
Заданы требования к АЧХ ПФ
(табл. 4 и пример 3 в [6]). Значения amax = 0,4455 дБ и amin = 40 дБ (rp и rs). Синтезировать оптимальные БИХ-фильтры Баттерворта, Чебышева I и II рода и Золотарева – Кауэра методом би- линейного Z-преобразования. Параметры WDp и WDs представляют собой векторы из двух элементов:
>> Fs=8000;
>> fk1=1000; ft1=1400; ft2=2000; fk2=2400;
>> ft=[ft1 ft2]; fk=[fk1 fk2];
>> WDp=ft./(Fs/2); WDs=fk./(Fs/2);
>> rp=0.4455; rs=40;
>> [R1,WDn1]=buttord(WDp,WDs,rp,rs);
>> [R2,WDn2]=cheb1ord(WDp,WDs,rp,rs);
>> [R3,WDn3]=cheb2ord(WDp,WDs,rp,rs);
>> [R4,WDn4]=ellipord(WDp,WDs,rp,rs);
>> [b1,a1]=butter(R1,WDn1);
>> [b2,a2]=cheby1(R2,rp,WDn2);
>> [b3,a3]=cheby2(R3,rs,WDn3);
>> [b4,a4]=ellip(R4,rp,rs,WDn4)
Выведем рассчитанные значения порядков R1, R2, R3, и R4 соответственно оптимальных ПФ Баттерворта, Чебышева I и II рода и Золотарева – Кауэра:
>> R=[R1 R2 R3 R4] R = 7 5 5 4