В вопросах организации обработки информации с помощью ЭВМ важное место занимают системы счисления, формы представления данных и специальное кодирование чисел.
| Системы счисления |
Совокупность приемов наименования и записи чисел называется счислением. Под системой счисления понимается способ представления любого числа с помощью ограниченного алфавита символов, называемых цифрами. Счисление представляет собой частный случай кодирования, где слово, записанное с использованием определенного алфавита и по определенным правилам, называется кодом. Применительно к счислению это код числа.
Позиционные и непозиционные системы счисления.
Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В непозиционных системах счисления каждое число обозначается соответствующей совокупностью символов. Характерным представителем непозиционных систем является римская система счисления со сложным способом записи чисел и громоздкими правилами выполнения арифметических операций. Например, запись MCMXCIX означает, что записано число 1999 (М — тысяча, С — сто, Х — десять, V — пять, I — единица и т. д.).
Позиционные системы счисления обладают большими преимуществами в наглядности представления чисел и в простоте выполнения арифметических операций.
В позиционной системе счисления значение числа определяется не только набором входящих в него цифр, но и их местом (позицией) в последовательности цифр, изображающих это число, например, числа 127 и 721.
Позиционной является десятичная система счисления, используемая в повседневной жизни. Помимо десятичной существуют другие позиционные системы счисления, и некоторые из них нашли применение в информатике.
Количество символов, используемых в позиционной системе счисления, называется ее основанием. Его обозначают обычно буквой q. В десятичной системе счисления используется десять символов (цифр): 0, 1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, и основанием системы является число десять.
Особое место среди позиционных систем счисления занимают системы со степенными весами разрядов, в которых веса смежных позиций цифр (разрядов) отличаются по величине в постоянное количество раз, равное основанию q системы счисления.
В общем случае в такой позиционной системе счисления с основанием q любое число Х может быть представлено в виде полинома разложения:
где:
Х(q) — запись числа в системе счисления с основанием q;
q — основание системы счисления;
хi — целые числа, меньше q;
п — число разрядов (позиций) в целой части числа;
т — число разрядов в дробной части числа.
Например: 4295, 6731(10)= 4•103 + 2•102+ 9•101+5•100+6•10-1+ 7 •10-2+ 1•10-3. Для обозначения используемой системы счисления ее основание указывается в индексе в круглых скобках. Изображение числа Х в виде последовательности коэффициентов х. полинома является его условной сокращенной записью (кодом).
X(q)=xn-1 xn-2…x1x0,x-1…x-m (1.2)
Запятая отделяет целую часть числа от дробной и служит началом отсчета значений веса каждой позиции (разряда).
В информатике применяют позиционные системы счисления с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, т. е. системы счисления с основанием q = 2k, где k=1,3,4.
Двоичная система счисления
Наибольшее распространение получила двоичная система счисления, В этой системе для представления любого числа используются два символа — цифры 0 и 1. Основание системы счисления q = 2.
Произвольное число с помощью формулы (1.1) можно представить в виде разложения по степеням двойки. Тогда условная сокращенная запись в соответствии с (1.2) означает изображение числа в двоичной системе счисления (двоичный код числа), где хi =0 или 1.
Например:
13,625=1•23+1•22 + 0•21+1•20+ 1•2-1+0•2-2+1•2-3= 1101,101(2)
Двоичное представление числа требует примерно в 3,3 раза большего числа разрядов, чем его десятичное представление. Тем не менее, применение двоичной системы счисления создает большие удобства для работы ЭВМ, т. к. для представления в машине разряда двоичного числа может быть использован любой запоминающий элемент, имеющий два устойчивых состояния.
Восьмеричная система счисления
В восьмеричной системе счисления алфавит состоит из восьми символов (цифр): 0, 1... 7. Основание системы счисления q = 8. Для записи произвольного числа в восьмеричной системе счисления необходимо по формуле (1.1) найти его разложение по степеням восьмерки, а затем воспользоваться условной сокращенной записью (1.2).
Например, десятичное число 28(10) = 34(8)