При использовании сложных ставок процентов процентные деньги, начисленные после первого периода начисления, являющегося частью общего срока долга, присоединяются к сумме долга. Во втором периоде начисления проценты будут начисляться исходя из первоначальной суммы долга, увеличенной на сумму процентов, начисленных после первого периода начисления, и так далее на каждом последующем периоде начисления. Таким образом, база для начисления сложных процентов в отличие от использования простых процентов будет увеличиваться с каждым очередным периодом начисления. Если сложные проценты начисляются по постоянной ставке ежегодно в конце года то, наращенная сумма будет равна:
S = P · (1+i)n, где
P-первоначальная сумма долга;
i - годовая ставка сложных процентов
n – срок финансовой операции в годах
(1+i)n = kнс - коэффициент наращения по сложной ставке процентов
Пример 10. Депозит 50 тыс. руб. положен в банк на три года с начислением сложных процентов по ставке 8% годовых. Определить сумму начисленных процентов.
Решение
Сумма депозита с начисленными процентами будет равна:
S=50000·(1+0,08)3=62985,5 руб.
Сумма начисленных процентов составит:
I=S-P=62985,5-50000=12985,6 руб.
Если бы проценты начислялись по простой ставке 8% годовых, сумма их составила бы:
In=3·0,008·50000=12000 руб.
Таким образом, начисление процентов по сложной ставке дает большую сумму процентных денег, если срок финансовой операции больше года.
Если срок финансовой операции в годах не является целым числом, наращенная сумма, может быть определена двумя способами:
1) используют формулу S=P(1+i)n, с соответствующим нецелым показателем степени.
2) Смешанный метод и наращенная сумма определяется по формуле:
S=P(1+i)na·(1+nвi), где
n = na+nв
na- целое число лет
nв - оставшаяся дробная часть года
Сложные проценты могут начисляться несколько раз в году. При этом годовую ставку процентов, исходя из которой, определяется величина ставки процентов в каждом периоде начисления, называют номинальной годовой ставкой процентов. При сроке долга n лет и начислении сложных процентов m раз в году общее количество периодов начисления будет равно:
N = n · m,
а наращенная сумма будет равна:
S = P · (1+ 
)n·m, где
j- номинальная годовая ставка процентов
Пример 11. Банк начисляет проценты на вклады ежеквартально по номинальной ставке 10% годовых. Определить сумму процентов, начисленных за два года на вклад 2000 руб.
Решение
Количество периодов начисления равно:
2 · 4 = 8
Следовательно, наращенная сумма составит:
S=2000·(1+ 
)8=2436,8 руб.
Сумма начисленных процентов будет равна:
I = 2436,8 – 2000 = 436,8 руб.
Используя формулу для определения наращенной суммы, можно вычислить:
а) срок долга:
б) ставку сложных процентов:
и 
в) первоначальную сумму долга (осуществить дисконтирование по сложной ставке процентов):
и 
В условиях инфляции годовая ставка сложных процентов, обеспечивающая требуемую реальную доходность кредитной операции в виде годовой ставки r, определяется по формуле:
Н – годовой уровень инфляции