Применение теорий прочности для расчетов

ГИПОТЕЗЫПРОЧНОСТИ. КРИТЕРИЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

Гипотезы прочности указывают критерии эквивалентности различных напряженных состояний.

Применение гипотез прочности избавляет от необходимости проведения огромного количества экспериментов. Тот или иной критерий эквивалентности может быть основой для практическихрасчетов на прочность лишь при условии, что для ряда частных случаев он проверен опытным путем, и результаты эксперимента оказались достаточно близки к результатам теоретического расчета.

Определение истинной причины разрушения материала является труднейшей задачей. Это обстоятельство не позволяет создать единую общую гипотезу прочности и повлекло за собой появление многих теорий, каждая из которых основывается на своей гипотезе о причине разрушения материала.

ИСТОРИЧЕСКИ ПЕРВАЯ ГИПОТЕЗА ПРОЧНОСТИ - НАИБОЛЬШИХ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

Обычно первую гипотезу прочности, предложенную Галилеем, называют гипотезой наибольших нормальных напряжений.

Условие прочности по первой гипотезе прочности:.

ВТОРАЯ ГИПОТЕЗА ПРОЧНОСТИ - НАИБОЛЬШИХ ЛИНЕЙНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ

Согласно второй гипотезе прочности, называемой гипотезой наибольших линейных деформаций, причиной разрушения являются наибольшие линейные деформации. Эквивалентные напряжения вычисляются по формуле , где – коэффициент Пуассона.

ТРЕТЬЯ ГИПОТЕЗА ПРОЧНОСТИ – НАИБОЛЬШИХ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

Согласно третьей гипотезе прочности наибольших касательных напряжений, причиной разрушения материала являются наибольшие Касательные напряжения. Максимальное касательное напряжение для заданного объемного напряженного состояния и эквивалентного ему линейного напряженного состояния одинаковы: .

Формула наибольшего касательного напряжения при объемном напряженном состоянии: . Эквивалентное напряжение при одноосном растяжении: .

Условие прочности по третьей гипотезе прочности:

ЧЕТВЕРТАЯ ГИПОТЕЗА ПРОЧНОСТИ - ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ

Четвертая (энергетическая) гипотеза прочности: количество удельной потенциальной энергии изменения формы, накопленной к моменту наступления предельного состояния материала, одинаково как при сложном напряженном состоянии, так и при простом одноосном растяжении.

Условие прочности по четвертой гипотезе прочности:

Достоинство четвертой гипотезы прочности: эквивалентное напряжение определяется значениями всех трех главных напряжений.

Энергетическая гипотеза прочности согласуется с опытными данными для пластичных материалов.

ГИПОТЕЗА ПРОЧНОСТИ МОРА

Согласно гипотезе прочности Мора, предложенной Отто Мором, два напряженных состояния равноопасны, если для соответствующих главных напряжений и соблюдается соотношение: .

Условие прочности по гипотезе прочности Мора:

Гипотеза прочности Мора не учитывает влияния второго главного напряжения ().

Коэффициент представляет собой отношение предельных напряжений, соответствующих одноосным растяжению и сжатию, который равен для хрупких материалов: , для пластичных: .

Гипотеза прочности Мора рекомендуется для хрупких материалов. Для пластичных материалов гипотеза прочности Мора тождественна третьей гипотезе прочности.

Применение теорий прочности для расчетов

 Изгиб и кручение

Сочетание деформаций изгиба и кручения испытывает большинство валов, которые обычно представляют собой прямые брусья круглого или кольцевого сечения.При расчете валов мы будем учитывать только крутящий или изгибающий моменты, действующие в опасном поперечном сечении, и не будем принимать во внимание поперечные силы, так как соответствующие им касательные напряжения относительно невелики.Максимальные нормальные и касательные напряжения у круглых валов вычисляют по формулам:

σ = М_и / W, τ = М_к / W_р,

причем для круглых валов W_р = 2W.

При сочетании изгиба и кручения опасными будут точки опасного поперечного сечения вала, наиболее удаленные от нейтральной оси.Применив третью теорию прочности, получим:

σ_экв =√(σ² + 4τ²) = √[(М_и/W)² + 4(М_к/W_р)²] = √[(М_и/W)² + 4(М_и/2W_р)²] = √(М_и² + Мк²) / W.

Выражение, стоящее в числителе, называют эквивалентным моментом:

М_экв = √(М_и² + М_к²),

Тогда расчетная формула для круглых валов примет вид:

σ_экв = М_экв / W ≤ [σ]

(валы обычно изготовляют из материала, у которого [σ_р] = [σ_с] = [σ]).

По этой формуле расчет круглых валов ведут, как на изгиб, но не по изгибающему, а по эквивалентному моменту. Применив энергетическую теорию прочности, получим:

σ_экв =√(σ² + 4τ²) = √[(М_и/W)² + 3(М_к/W_р)²] = √[(М_к/W)² + 3(М_к/2W)²] = √(М_и² + 0,75 М_к²)/W,

т. е. по энергетической теории прочности:

М_экв = √(М_и² + 0,75 М_к²).

Для расчетов деталей на сочетание деформаций поперечного изгиба и кручения необходимо, как правило, составить расчетную схему конструкции и построить эпюры изгибающих и крутящих моментов, определить предположительно опасные сечения, после чего, применив одну из теорий прочности, произвести необходимые расчеты.На рисунке ниже представлен пример расчета трансмиссионного вала, подверженного деформациям изгиба и кручения, на прочность. На основе чертежа вала в аксонометрической проекции составлена его расчетная схема и построены эпюры изгибающих и крутящих моментов.

Расчет производят в следующей последовательности:

· По эпюрам моментов определяют наиболее опасные сечения вала;

· Подсчитывают значения моментов в этих сечениях и, применяя одну из теорий прочности, рассчитывают эквивалентные напряжения;

· В соответствии с условием прочности, оценивают работоспособность вала при данных нагрузках.