Сложное движение точки и твердого тела.
Относительное, переносное и абсолютное движения.
До сих пор мы изучали движение точки или тела по отношению к одной заданной системе отсчета. Однако в ряде случаев при решении задач механики оказывается целесообразным (а иногда и необходимым) рассматривать движение точки (или тела) одновременно по отношению к двум системам отсчета, из которых одна считается основной или условно неподвижной, а другая определенным образом движется по отношению к первой. Движение, совершаемое при этом точкой (или телом), называют составным или сложным. Например, шар, катящийся по палубе движущегося парохода, можно считать совершающим по отношению к берегу сложное движение, состоящее из качения по отношению к палубе (подвижная система отсчета), и движение вместе с палубой парохода по отношению к берегу (неподвижная система отсчета). Таким путем сложное движение шара разлагается на два более простых и более легко исследуемых.
Рис.1
Рассмотрим точку М, движущуюся по отношению к подвижно системе отсчета Oxyz, которая в свою очередь как-то движется относительно другой системы отсчета O 1 x 1 y 1 z 1, которую называем основной или условно неподвижной (рис.1). Каждая из этих систем отсчета связана, конечно, с определенным телом, на чертеже не показанным. Введем следующие определения.
1. Движение, совершаемое точкой М по отношению к подвижной системе отсчета (к осям Oxyz), называется относительным движением (такое движение будет видеть наблюдатель, связанный с этими осями и перемещающийся вместе с ними). Траектория АВ, описываемая точкой в относительном движении, называется относительной траекторией. Скорость точки М по отношению к осям Oxyz называется относительной скоростью (обозначается 
), a ускорение - относительным ускорением (обозначается 
). Из определения следует, что при вычислении 
и можно движение осей Oxyz во внимание не принимать (рассматривать их как неподвижные).
2. Движение, совершаемое подвижной системой отсчета Oxyz (и всеми неизменно связанными с нею точками пространства) по отношению к неподвижной системе O 1 x 1 y 1 z 1, является для точки М переносным движением.
Скорость той неизменно связанной с подвижными осями Oxyz точки m, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М, называется переносной скоростью точки М в этот момент (обозначается 
), а ускорение этой точки m - переносным ускорением точки М (обозначается 
). Таким образом,
Если представить себе, что относительное движение точки происходит по поверхности (или внутри) твердого тела, с которым жестко связаны подвижные оси Oxyz, то переносной скоростью (или ускорением) точки М в данный момент времени будет скорость (или ускорение) той точки т тела, с которой в этот момент совпадает точка М.
3. Движение, совершаемое точкой по отношению к неподвижной системе отсчета O 1 x 1 y 1 z 1, называется абсолютным или сложным. Траектория CD этого движения называется абсолютной траекторией, скорость - абсолютной скоростью (обозначается 
) и ускорение - абсолютным ускорением (обозначается 
).
В приведенном выше примере движение шара относительно палубы парохода будет относительным, а скорость - относительной скоростью шара; движение парохода по отношению к берегу будет для шара переносным движением, а скорость той точки палубы, которой в данный момент времени касается шар будет в этот момент его переносной скоростью; наконец, движение шара по отношению к берегу будет его абсолютным движением, а скорость - абсолютной скоростью шара.
При исследовании сложного движения точки полезно применять «Правило остановки». Для того, чтобы неподвижный наблюдатель увидел относительное движение точки, надо остановить переносное движение.
Тогда будет происходить только относительное движение. Относительное движение станет абсолютным. И наоборот, если остановить относительное движение, переносное станет абсолютным и неподвижный наблюдатель увидит только это переносное движение.
В последнем случае, при определении переносного движения точки, обнаруживается одно очень важное обстоятельство. Переносное движение точки зависит от того в какой момент будет остановлено относительное движение, от того, где точка находится на среде в этот момент. Так как, вообще говоря, все точки среды движутся по-разному. Поэтому логичнее определять переносное движение точки как абсолютное движение той точки среды, с которой совпадает в данный момент движущаяся точка.
Teopeмa сложения скоростей.
Пусть некоторая точка М совершает движение по отношению к системе отсчета Oxyz, которая сама движется произвольным образом по отношению к неподвижной системе отсчета O 1 x 1 y 1 z 1, (рис.2).
Конечно, абсолютное движение точки М определяется уравнениями
Относительное движение – в движущихся осях уравнениями
|
Уравнений, определяющих переносное движение точки, не может быть вообще. Так как, по определению, переносное движение точки М – это движение относительно неподвижных осей той точки системы O 1 x 1 y 1 z 1, с которой совпадает точка в данный момент. Но все точки подвижной системы движутся по-разному.
Положение подвижной системы отсчета может быть также определено, если задать положение точки О радиусом-вектором 
, проведенным из начала неподвижной системы отсчета, и направления единичных векторов 
подвижных осей Оx, Oy, Oz.
Рис.2
Произвольное переносное движение подвижной системы отсчета слагается из поступательного движения со скоростью 
точки О и движения вокруг мгновенной оси вращения ОР, походящей через точку О, с мгновенной угловой скоростью 
. Вследствие переносного движения подвижной системы отсчета радиус-вектора 
и направления единичных векторов изменяются. Если векторы 
заданы в функции времени, то переносное движение подвижной системы отсчета вполне определено.
Положение точки М по отношению к подвижной системе отсчета можно определить радиусом-вектором 
,
где координаты x, y, z точки М изменяются с течением времени вследствие движения точки М относительно подвижной системы отсчета. Если радиус-вектор задан в функции времени, то относительное движение точки М, т.е. движение этой точки относительно подвижной системы отсчета, задано.
Положение точки М относительно неподвижной системы отсчета O 1 x 1 y 1 z 1, может быть определено радиусом-вектором 
. Из рис.2 видно, что
. (1)
Если относительные координаты x,y,z точки М и векторы определены в функции времени, то слагающееся из относительного и переносного движений составное движение точки М, т.е. движение этой точки по отношению к неподвижной системе отсчета, также надо считать заданным.
Скорость составного движения точки М, или абсолютная скорость этой точки, равна, очевидно, производной от радиуса-вектора точки M по времени t
Поэтому, дифференцируя равенство (1) по времени t, получим
Разобьем слагаемые в правой части этого равенства на две группы по следующему признаку. К первой группе отнесем те слагаемые, которые содержат производные только от относительных координат x,y,z, а ко второй - те слагаемые, которые содержат производные от векторов , т.е. от величин, изменяющихся только вследствие переносного движения подвижной системы отсчета
Каждая из групп слагаемых, обозначенных через и 
, представляет собой, по крайней мере, по размерности некоторую скорость. Выясним физический смысл скоростей 
и .
Скорость , как это следует из равенства (3), вычисляется в предположении, что изменяются только относительные координаты x,y,z точки М, но векторы остаются постоянными, т.е. подвижная система отсчета Oxyz как бы условно считается неподвижной. Итак, скорость представляет собой относительную скорость точки М.
Скорость вычисляется так, как будто бы точка М не двигалась относительно подвижной системы отсчета, так как производные x,y,z в равенство (4) не входят. Поэтому скорость представляет собой переносную скорость точки М.
Итак, 
. (5)
Это равенство выражает теорему сложения скоростей в случае, когда переносное движение является произвольным: абсолютная скорость точки М равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей этой точки.