Закон и функция распределения дискретной случайной величины

Тема 3. Случайная величина.

Дискретные случайные величины

Случайная величина

Выше рассматривались случайные события, являющиеся качественной характеристикой случайного результата опыта. Для получения количественной характеристики вводится понятие случайной величины.

Определение. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать любые заранее неизвестные значения.

Примеры.

1) В студенческой группе 25 человек. Пусть величина Х – число студентов, находящихся в аудитории перед началом занятий. Ее возможными значениями будут числа 0, 1, 2,…,25. При каждом испытании (начало занятий) величина Х обязательно примет одно из своих возможных значений, т.е. наступит одно из событий Х = 0, Х = 1, …, Х = 25.

2)Измерение курса акции некоторого предприятия. Возможные события заключаются в том, что стоимость акции Y примет некоторое значение в пределах от 0 до ∞.

Случайные величины можно разделить на две категории: дискретные и непрерывные.

Определение. Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы).

Это множество может быть как конечным, так и бесконечным.

Например, количество выстрелов до первого попадания в цель является дискретной случайной величиной, т.к. эта величина может принимать и бесконечное, хотя и счетное количество значений.

Для задания случайной величины недостаточно просто указать ее значение, необходимо также указать вероятность этого значения.

Закон и функция распределения дискретной случайной величины

Определение. Соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.

Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически.

Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется рядом распределения.

События образуют полную группу попарно независимых событий. Следовательно, .

Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения. При этом сумма всех ординат многоугольника распределения представляет собой вероятность всех возможных значений случайной величины, а, следовательно, равна единице.

Пример. По цели производится 5 выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела равна 0,4. Найти вероятности числа попаданий и построить многоугольник распределения.

Вероятности пяти попаданий из пяти возможных, четырех из пяти и трех из пяти были найдены выше по формуле Бернулли и равны соответственно:

, ,

Аналогично найдем:

Тогда закон распределения имеет вид:

Представим графически зависимость числа попаданий от их вероятностей.

Функция распределения содержит полную информацию о случайной величине. На практике функцию распределения не всегда можно установить; иногда такого исчерпывающего знания и не требуется.

Функция распределения дискретной случайной величины равна вероятности случайного события, состоящего в том, что дискретная случайная величина X примет одно из возможных значений, меньших некоторого значения x, т.е.

Если дискретные значения случайной величины расположены в порядке возрастания то можно записать в виде

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. Значение функции распределения принадлежит отрезку [0,1]: 0£ F (x)£1.

2. Функции распределения есть неубывающая функция.

3. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

Р (а < X < b) = F (b) – F (а).

4. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (а, b), то

F (x) = 0 при х £ а;  F (x) = 1 при х ³ b.

5. Справедливы следующие предельные отношения:

.

Для дискретной случайной величины Х, которая может принимать значения х ₁, х ₂, …, х_n, функция распределения имеет вид