Точечная оценка параметров распределения





Тема 7. Статистические оценки параметров распределения: точечные и интервальные оценки

Смысл статистических методов заключается в том, чтобы по выборке ограниченного объема, то есть по некоторой части генеральной совокупности, высказать обоснованное суждение о ее свойствах целиком.

Естественно, что замена исследования генеральной совокупно­сти исследованием выборки порождает ряд вопросов:

1. В какой степени выборка отражает свойства генеральной совокупности, т. е. в какой степени выборка репрезентативна по отношению к генеральной совокупности?

2. Какую информацию о значениях параметров генеральной совокупности могут дать параметры выборки?

3. Можно ли утверждать, что полученные выборочным путем статистические характеристики (средние величины, дисперсия или любые другие производные величины) равны тем характе­ристикам, которые могут быть получены из генеральной сово­купности.

Проверка показывает, что значения параметров, полученных для разных выборок из одной генеральной совокупности, обыч­но не совпадают. Рассчитанные выборочным путем числовые значения параметров выборок являются лишь результатом при­ближенного статистического оценивания значений этих парамет­ров в генеральной совокупности. Статистическое оценивание, в силу изменчивости наблюдаемых явлений, позволяет получать только их приближенные значения.

Примечание. Строго говоря, в статистике оценка — это правило вычисления оцениваемого параметра, а термин оценить, т. е. провести оценивание, означает указать приближенное значе­ние.

Различают оценки точечные и оценки интервальные.

Точечная оценка параметров распределения

Пусть x1, x2, …, xn – выборка объема n из генеральной совокупности с функцией распределения F(x).

Числовые характеристики этой выборки называются выборочными (эмпирическими) числовыми характеристиками.

Отметим, что выборочные числовые характеристики являются характеристиками данной выборки, но не являются характеристиками распределения генеральной совокупности. Однако эти характеристики можно использовать для оценок параметров генеральной совокупности.

Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом.

Точечная оценка характеризуется свойствами:несмещенность, состоятельность и эффективность.

Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.

Точечная оценка называется состоятельной, если при неограниченном увеличении объема выборки (n ® ¥) она сходится по вероятности к истинному значению параметра, то есть стремится к истинному значению оцениваемого параметра генеральной совокупности.

Эффективной называют точечную оценку, которая (при заданном объеме выборки n) имеет наименьшую возможную дисперсию, те есть гарантирует наименьшее отклонение выборочной оценки от такой же оценки генеральной совокупности..

В математической статистике показывается, что состоятельной, несмещенной оценкой генерального среднего значения а является выборочное средне:

 

 

где хi – варианта выборки, ni – частота варианты хi, – объем выборки.

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправления выборочная дисперсия

,

Более удобна формула  .

Оценка s2 для генеральной дисперсии является также и состоятельной, но не является эффективной. Однако в случае нормального распределения она является «асимптотически эффективной», то есть при увеличении n отношение ее дисперсии к минимально возможной неограниченно приближается к единице.

Итак, если дана выборка из распределения F(x) случайной величины Х с неизвестным математическим ожиданием а и дисперсией s2 , то для вычисления значений этих параметров мы имеем право пользоваться следующими приближенными формулами:

Точечные оценки имеют тот недостаток, что при малом объеме выборки могут значительно отличаться от оцениваемых параметров. Поэтому, чтобы получить представление о близости между параметром и его оценкой, в математической статистике вводятся, так называемые, интервальные оценки.

Доверительный интервал

Если при статистической обработке результатов требуется найти не только точечную оценку неизвестного параметра θ, но и охарактеризовать точность этой оценки, то находится доверительный интервал.

Доверительный интервал – это интервал, в котором заранее заданной доверительной вероятностью находится неизвестный параметр генеральной совокупности.

Доверительная вероятность – это вероятность, с которой неизвестный параметр генеральной совокупности принадлежит доверительному интервалу.

Длина доверительного интервала характеризует точность интервального оценивания и зависит от объема выборки и доверительной вероятности. При увеличении объема выборки длина доверит. интервала уменьшается (точность увеличивается), а при стремлении доверительной вероятности к 1 длина доверит. интервала увеличивается (точность уменьшается) Наряду с доверительной вероятностью р часто на практике используют уровень значимости α = 1 - p.

Обычно принимают р = 0,95 или (реже) 0,99. Эти вероятности признаны достаточными для уверенного суждения о генеральных параметрах на основании известных выборочных показателей.

Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид: где S – СКО, - критическое значение распределения Стьюдента (Смотри ПРИЛОЖЕНИЕ 1 к Теме 7)

Доверительный интервал для дисперсии имеет вид

где - обратное распределение хи-квадрат (Смотри ПРИЛОЖЕНИЕ 2 к Теме 7)

ЗАДАЧА. Дана выборка 5, 6, 8, 2, 3, 1, 1, 4. Записать данные в виде вариационного ряда. Определить оценки среднего, дисперсии, и стандартного отклонения а также построить доверительные интервалы для среднего и дисперсии на уровне значимости a=0,05.

Решение. Представим данные в виде вариационного ряда: 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8. Так как n = 8, то выборочное среднее и исправленная выборочная дисперсия равны

Стандартное отклонение .

По таблицам из ПРИЛОЖЕНИЯ 1 и ПРИЛОЖЕНИЯ 2 к Теме 7. находим: ,

Получаем доверительный интервал для математического ожидания

или .

Доверительный интервал для дисперсии

или





Читайте также:
Тест мотивационная готовность к школьному обучению Л.А. Венгера: Выявление уровня сформированности внутренней...
Теория по геометрии 7-9 класс: Смежные углы – два угла, у которых одна...
Фразеологизмы и их происхождение: В Древней Греции жил царь Авгий. Он был...
Историческое сочинение по периоду истории с 1019-1054 г.: Все эти процессы связаны с деятельностью таких личностей, как...

Рекомендуемые страницы:



Вам нужно быстро и легко написать вашу работу? Тогда вам сюда...

Поиск по сайту

©2015-2021 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-08 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:

Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ!
Обратная связь
0.011 с.