Преобразования чисел в различных системах счисления.

Практическое занятие

По выполнению преобразований в различных системах счисления,

Выполнению расчётов с логическими операциями

И решению задач программирования на условном языке или с помощью блок-схем.

Преобразования чисел в различных системах счисления.

1.1. Общие вопросы.

Наиболее простой и понятной нам системой счисления является десятичная (десятеричная). На самом деле она ничем не отличается от остальных систем по сложности выполнения расчётов, просто мы к ней привыкли. Тем не менее, эта система счисления является основной для большинства людей и наиболее распространенной по всему миру. Десятичная система счисления относится к так называемым позиционным системам счисления – это системы, в которых значение числа зависит не только от символа (символов), которыми число отображается, но и от позиции этого символа (этих символов) в числе.

Однако для вычислительной техники предпочтительнее использовать двоичную систему счисления, так как информация в компьютере представлена в виде электрических сигналов, которые имеют всего два варианта существования: либо электрический сигнал есть – обозначается 1, либо электрического сигнала нет – обозначается 0. Кроме этого для компактной записи информации в компьютере используется шестнадцатиричная система счисления, которая позволяет меньшим количеством символов записать большее количество информации.

Наряду с этими системами могут существовать и восьмеричная, и семеричная, и любая другая система счисления. Если понять принцип организации этих систем, то нет никакой разницы, в какой из систем представлено число, и можно довольно просто произвести преобразование числа из одной системы в другую.

1.2. Двоичная система счисления

Для понимания принципов работы в двоичной системе, как правило, ограничиваются 1 байтом, т.е. двоичным числом, состоящим из 8 разрядов. Такое число позволяет выполнять операции в пределах десятичного числа 255 (255₁₀ – для обозначения системы используется подстрочный индекс).

 

Рассмотрим структуру одного байта с точки зрения десятичной системы:

27	26	25	24	23	22	21	20	Степень числа 2 при наличии значения в разряде
								Значение разряда (если значение равно нулю, то и результат тоже равен нулю)
								Результат при значении разряда, равного единице, равен числу 2, возведённому в степень указанную в верхней строке

 

Суммируя все результаты нижней строки, получаем: 128+64+32+16+8+4+2+1=255.

Если наше число больше, то используются дополнительные разряды, дописываемые слева. Так, например, оперируя 2 байтами, можно работать с десятичными числами в пределах 65 535.

Для решения задачи пересчёта двоичной системы в десятичную существует много вариантов, и можно использовать любой, однако, нам кажется, нагляднее и удобнее следующий вариант:

Перевести двоичное число 10011010₂ в десятичное. Для этого подставим данное число в приведённую выше таблицу в средний ряд (Значение разрядов). Соответственно в нижнем ряду получим следующие значения и просуммируем их.

Стандартная таблица для пересчета:

27	26	25	24	23	22	21	20

Подставляем в средний ряд вместо единиц наше число 10011010₂ и получаем следующие значения (если значение разряда равно нулю, следовательно, значение в ячейке нижнего ряда также равно нулю):

Складываем: 128+16+8+2=144.

Обратный перевод: число 235₁₀ перевести в двоичную систему. Логика решения задачи следующая: 1) число 235 не больше 255, следовательно, для записи его в двоичной системе одного байта будет достаточно; 2) смотрим, какое максимальное число из нижнего ряда таблицы не превышает данное (естественно, 128); 3) вычитаем 128 из 235 и в значении разряда этого числа в среднем столбике ставим 1 (если это число не помещается в наше, то ставиться 0);

4) далее анализируем остаток (107), от остатка отнимаем следующее число (64), помещающееся в остаток и в разряде этого числа ставим 1, и т.д. Итак, число 235 равно:

Шаги 2 и 3: 235-128=107 – ставим 1 в разряде, соответствующем 128

Шаг 4: 107-64=43 – ставим 1 в разряде, соответствующем 64; далее повторяем процедуру 4), пока не останется ноль:

43-32=11 - ставим 1 в разряде, соответствующем 32,

11- 16 – не отнимается, ставим 0 в разряде, соответствующем 16,

11-8 = 3- ставим 1 в разряде, соответствующем 8,

3 – 4 – не отнимается, ставим 0 в разряде, соответствующем 4,

3-2 = 1 - ставим 1 в разряде соответствующем 2,

1-1 = 0 - ставим 1 в разряде соответствующем 1.

Сводим все в таблицу:

Проверяем: 128+64+32+8+2+1=235

Получилось двоичное число: 11101011₂

Может это и не самый удобный способ, зато простой наглядный и надёжный.

Если десятичное число достаточно большое, то можно применить следующий вид записи:

Пример перевода по общепринятой методике (перевести в двоичное десятичное число 218):

Число
Делитель
Остаток

Соберем остатки от деления в направлении, указанной стрелкой, начиная с последней единицы, и получим число в двоичной системе счисления: 218₁₀ = 11011010₂

Сложение и вычитание двоичных чисел производится по стандартной классической схеме, например:

Сложение Вычитание

+ 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1

- 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0

При сложении двоичных чисел сумма в каждом разряде не может быть больше 2, если число получается равным двум, то в разряде записывается 0, а 1 переходит в следующий разряд. Если получается больше 2 (например, складывали три числа, все равны 1, получилось 3), то в данном разряде записывается остаток от вычитания из получившегося числа двойки (в нашем примере из трех вычесть 2, записываем 1), а 1 переходит в следующий разряд.

 

Примеры для повторения №1:

1. 227₁₀ преобразовать в двоичную систему

2. 01101011₂ преобразовать в десятичную систему

3. 11011₂ -10111₂ = ответ в десятичной системе.

 

 

1.3. Шестнадцатеричная система счисления

Это позиционная система счисления, в которой значения символа может принимать 16 вариантов:

№ п/п

значение

A

B

C

D

E

F

Для записи 1 байта в шестнадцатеричной системе достаточно двух разрядов и максимальное шестнадцатеричное число, записанное 1 байтом равно – FF.

Пересчёт шестнадцатеричной системы в двоичную удобнее выполнять через ту же таблицу значений разрядов, что и при переводе двоичной системы в десятичную:

Первый шестнадцатеричный символ кодирует первые 4 разряда байта, а второй вторые 4 разряда, таким образом, байт можно поделить пополам и представить в следующем виде:

								Значение двоичного разряда
								Пересчёт в десятичную систему
								Пересчёт в шестнадцатеричную систему
8+4+2+1=15=F	8+4+2+1=15=F	Значение шестнадцатеричного разряда (FF16)

Таким образом, мы можем довольно легко и наглядно записать любое десятичное число в шестнадцатеричной, двоичной и десятичной форме, например, E9₁₆ разделим на 2 части (Е в шестнадцатеричной и 9 в шестнадцатеричной). Смотрим по таблице: E соответствует 14, а 9 соответствует 9, запишем это: Е₁₆=14₁₀ и 9₁₆=9₁₀

Теперь запишем десятичные числа 14 и 9 в двоичной системе:

E16=8+4+2=1410=11102	916=8+1=910=10012

 

Теперь добавляем стандартную таблицу для перерасчета и находим десятичное число:

128+64+32+8+1=23310

 

Таким образом: E9₁₆→11101001₂→233₁₀

Примеры для повторения №2:

2.1. 137₁₀→шестнадцатеричную→двоичную

2.2. 10010111₂→шестнадцатеричную→десятичную

2.3. CA₁₆→двоичную→десятичную

 

 

1.4. Восьмеричная система счисления

Также является позиционной системой счисления с основанием, равным 8.

Для пересчёта восьмеричной системы в десятичную, используем стандартный, классический вариант. Суть его заключается в том, что для перевода чисел из любой системы счисления в десятичную можно использовать следующую схему:

A*X^k, где

А – значение числа в разряде,

Х – значение основания системы счисления,

K – значение позиции разряда

Например, если число четырехзначное в восьмеричной системе, то его перевод будет выглядеть так:

 

А4*8³+ А3*8²+ А2*8¹+ А1*8⁰

 

например:

377₈→десятичную =3*8²+7*8¹+7*8⁰= 192+56+7=255₁₀

Обратный перевод немного более сложный (так как уже сложно выполнять вычисления «в уме» - см. стандартную таблицу), но также выполним с помощью простого подбора, если речь идёт о небольших числах, будем исходить максимум из трёхзначного числа в восьмеричной системе, например:

241₁₀→ восьмеричную.

Предполагаем, что более трёх разрядов в восьмеричной системе для обозначения этого числа не понадобиться, третий разряд в восьмеричной системе равен значению числа А*8²=А*64. Считаем, сколько раз по 64 может уложиться в 241₁₀ целиком, получается 3*64=192. Таким образом, значение первого разряда числа 241₁₀ в восьмеричной системе будет равно 3. Находим остаток для определения второго разряда восьмиричной системы: 241-192=49. Смотрим, сколько раз по 8¹=8 может поместиться в 49, получается 6*8=48, таким образом, значение второго разряда восьмеричной системы будет равно 6. У нас осталось значение первого разряда восьмиричной системы, равное 49-48=1. Таким образом: 241₁₀→361₈

Стандартная таблица для пересчета (подбора) в восьмеричной системе:

87	86	85	84	83	82	81	80
2 097 152	262 144	32 768	4 096

 

Сложение и вычитание в восьмеричной системе также выполняются по классическим правилам, например:

Сложение	Вычитание
+2 3 48 1 6 78 4 2 38	- 2 3 48 1 6 78 4 58

При сложении восьмеричных чисел сумма в каждом разряде не может быть больше 8, если число получается равным восьми, то в разряде записывается 0, а 1 переходит в следующий разряд, если больше 8, то в данном разряде записывается остаток от вычитания из получившегося числа 8, а 1 переходит в следующий разряд.

Рассмотрим приведённый выше пример: складываем последние разряды 4+7=11, значит, в последнем разряде будет записано 11-8=3, а 1 переходит в старший разряд. Складываем вторые разряды: 1 (перешло из предыдущего разряда)+3+6=10, значит, во втором разряде запишем 10-8=2, и 1 переходит в старший разряд. И в третьем разряде запишем: 1(перешло из предыдущего разряда)+2+1=4. Таким образом, результат = 423₈.

Вычитание выполняется аналогичным образом. Из 4 вычесть 7 нельзя. Берём 1 из старшего разряда и получаем в последнем разряде значение 8+4=12. Из 12-7=5, таким образом, значение последнего разряда равно 5. В старшем разряде осталось значение 3-1(заимствованное значение) =2. Из 2 вычесть 6 нельзя. Повторяем процедуру аналогичную для первого разряда: 8+2=10 и из 10-6=4, таким образом, во втором разряде будет число 4. В старшем разряде остаётся: 2-1(заимствованный разряд)=1, вычитаем 1-1=0. Результат: 45₈

Примеры для повторения №3:

3.1. 218₁₀→восьмеричную→семеричную

3.2. 255⁸→десятичную→шестнадцатеричную

3.3. 01101111₂→восьмеричную

3.4. 167₈+255₈

3.5. 455₈-267₈

 

Коварные вопросы по системам счисления:

1. Сколько вариантов комбинаций можно закодировать 1 байтом?

2. Какое максимальное десятичное число можно записать 1 байтом?

3. Если десятичное число чётное, то в двоичной системе последним будет 0 или 1?

4. Какому разряду в двоичной системе соответствует 2⁵?

5. Чему будет равно максимальное десятичное число, записанное одним байтом в шестнадцатеричной системе?

6. Чему будет равно десятичное число 256 в шестнадцатеричной системе?

7. Какое значение примет число последнего разряда, если в нём складываются 5 и 7 в восьмеричной системе?

 

 

Логические операции.

В основе работы вычислительной техники лежат логические операции, выполняемые над двоичными значениями. Это связано с тем, что электронные устройства (логические микросхемы) обрабатывают электрические сигналы, которые либо существуют – логическое обозначение - «1», либо не существуют - логическое обозначение - «0». В качестве основных выделяют три логические операции:

1. Логическое отрицание – «NOT» или «НЕ», либо знак отрицания « » или (чёрточка вверху обозначает – «НЕ» X)

2. Логическое умножение или конъюнкция – «AND» или «И», либо знак конъюнкции «^». В языках программирования также могут встречаться следующие обозначения: А && В, А & В, А · В, А AND В

3. Логическое сложение или дизъюнкция – «OR» или «ИЛИ», либо знак дизъюнкции «˅». В языках программирования также могут встречаться следующие обозначения: А||В, А|В, А+В, А OR В

Логическая операция отрицания унарная, т.е. может выполняться над одним значением. А логические операции конъюнкции и дизъюнкции бинарные, т.е. для их выполнения необходимо как минимум 2 значения.

Суть логических операций (функций) следующая:

1. Функция отрицания «НЕ» возвращает противоположное значение исходного числа, например: если А=1, то =0 и наоборот: если А=0, то =1. Двойное отрицание числа А], возвращает само число А.

2. Функция конъюнкции «И» принимает значение 1, если и только тогда, когда все переменные (или обе переменные) равны 1, (и, соответственно, равна 0, если хотя бы одна из этих переменных равна 0), например: если А=1, В=1, то А ˄ В=1; если А=1, а В=0, то А ˄ В=0, а также если А=0, а В=0, то А ˄ В=0

3. Функция дизъюнкции «ИЛИ» принимает значение 1, если хотя бы одна переменная (как минимум из двух) равна 1, (и, соответственно, равна 0, если все переменные равны 0), например: если А=1, В=1, то А ˅ В=1; также А=1, В=0, то А ˅ В=1, и только если А=0, В=0, то А ˅ В=0

Графическое обозначение логических операций:

 

Отрицание (инвертор)	Умножение (конъюнкция)	Сложение (дизъюнкция)

 

 

Таблица истинности.

Основные операции можно представить в единой таблице, которую чаще всего называют таблицей истинности:

X	Y	not X	XandY	XorY	XxorY

 

(XxorY– логическая операция, исключающая ИЛИ, фактически проверяет на соответствие два значения, если они равны, то возвращается 0, если не равны, то возвращается 1).

Примеры выполнения расчётов с логическими операциями.

Логическое умножение одного байта на другой выполняется побитно, например:

X=	010111012
Y=	001101012
X AND Y	000101012

 

Аналогично выполняется и логическое сложение:

X=	010111012
Y=	001101012
X OR Y	011111012

 

Пример 1.

Решения задачи следующего вида: ( ˄ В)˅(А ˄ В)

 

А	В		˄ В	А ˄ В	( ˄ В)˅(А ˄ В)

Данный пример решается следующим образом:

Вначале, исходя из приоритета логических операций, находится значение , затем находится значение ˄ В, затем находится значения А ˄ В и на последнем этапе определяется значение ( ˄ В)˅(А ˄ В). Таким образом мы нашли ответы для заданного примера для всех возможных исходных вариантов А и В.

Пример 2.

Заданы логические выражения:

a. x<y OR x<z

b. x<y AND y<z

c. y>x AND z>x

Если число x имеет минимальное значение среди попарно неравных трёх чисел x,y и z, то значение ИСТИНА принимают выражения?

Выражение [а.] будет истинно так как x<y и x<z т.е. обе части уравнения будут истины.

Выражение [b.] может быть как истинным, так и ложным, так как x<y, а вот у<z мы не знаем, а уравнение будет истинным, если обе части будут истинными.

Выражение [с.] будет истинным, так как и y и z больше x, т.е. обе части уравнения будут истинными, и в результате получим истину.

Таким образом, ответ будет: a,c

 

Примеры для повторения №4:

1. с=а ˄в; а= 11011011 и в=00111010, чему будет равно с?

2. (А ˅ В) ˄ (), если А=1, а В=0

3.

А	В	(НЕ А ИЛИ НЕ В) И А