Тест на гетероскедастичность

ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТЬ

Для нахождения оценок коэффициентов линейных регрессионных зависимостей обычно применяется метод наименьших квадратов (МНК). Для того, чтобы найти МНК-оценки коэффициентов линейной регрессии модели , , достаточно, чтобы выполнялись условия теоремы Гаусса – Маркова:

1. Ee_t=0, E(e_t²)=V(e_t)=s² – не зависит от t, t=1…n.

2. E(e_te_s)=0 при t ¹ s, некоррелированность ошибок для разных наблюдений.

3. Ошибки e_t, t=1…n, имеют совместное нормальное распределение: e~ .

На практике часто встречаются задачи, в которых условия Гаусса – Маркова не выполняются. Следовательно, найденные с помощью МНК оценки неэффективные.

Тест на гетероскедастичность

Классическая модель с постоянными дисперсиями ошибок называется гомоскедастичной (3-е условие Гаусса – Маркова). Гетеро-скедастичной называется модель с некоррелированными, но имеющими непостоянную дисперсию ошибками. Для проверки модели на гетероскедастичность существует ряд тестов. Рассмотрим один из них.

Тест Голдфельда – Куандта:

Данный тест применяется в том случае, когда есть предположение о прямой зависимости дисперсии ошибки от величины некоторой независимой переменной (регрессора).

- Упорядочить данные по убыванию той независимой переменной, относительно которой есть подозрение на гетероскедастичность.

- Исключить d средних наблюдений (d=1/4 от общего количества наблюдений).

- Провести две независимые регрессии первых n/2–d/2 и последних n/2–d/2 наблюдений и построить соответствующие остатки e₁ и e₂.

- Составить статистику F=e^’₁e₁/e^’₂e₂, где .

Если верна гипотеза Н₀: s₁² = s₂² = …= s_n², то F имеет распределение Фишера с (n/2–d/2–k, n/2–d/2–k) степенями свободы. Большая величина этой статистики означает, что гипотезу Н₀ надо отвергнуть.

В случае подтверждения гетероскедастичности для поиска оценок коэффициентов регрессии применяются следующие методы:

- обобщенный метод наименьших квадратов;

- доступный обобщенный метод наименьших квадратов в случаях, когда ошибка пропорциональна одной из независимых переменных или дисперсии ошибок принимают только 2 различных значения;

- обычный метод наименьших квадратов, если оценки ошибок представлены в форме Уайта или Невье – Веста.

Указания:

1. Так как для проведения теста Голдфельда – Куандта необходимо провести упорядочение данных, то используем MS EXCEL для этой процедуры. Скопируйте исходные данные из табл. 1 на рабочий лист MS EXCEL. Поставьте курсор на поле H2 и выберите в меню Данные / Сортировка… В появившемся окне Сортировка диапазона укажите: Сортировать по H2, по убыванию. Нажмите OK.

2. Исключим d средних наблюдений (d=20/4=5). Так как число наблюдений четное, то и d должно быть четное. Пусть d=6. Удалите с рабочего листа MS EXCEL шесть средних значений. Установите в ячейках с числами четыре десятичных знака после запятой, для этого выделите числовые данные и выберите в меню Формат / Ячейки.… В появившемся окне установите Числовой формат ячеек и число десятичных знаков – 4.

3. Создайте ряды для построения двух независимых регрессий первых n/2-d/2 и последних n/2-d/2 наблюдений. Пусть это будут ряды G1, V1, V2 и G2, S1, S2 соответственно. Скопируйте данные из рабочего листа MS EXCEL в группу Heterosked.

4. Оцените регрессию G1=a₀+a₁V1+a₂V2+e методом наименьших квадратов, получим

G1=C(1)+C(2)*V1+C(3)*V2.

5. Создайте ряд для расчета остатков первой регрессии. Пусть это будет ряд E1. В строке формул введите

E1=G1-C(1)-C(2)*V1-C(3)*V2,

где С(1), С(2), С(3) – полученные оценки коэффициентов.

6. Повторите п.4 и п.5 для регрессии G2=a₀+a₁S1+a₂S2+e. Ряд остатков назовите E2.

7. Создайте ряд для расчета F-статистики. Пусть это будет ряд F. В строке формул введите

Fрасчет=суммкв(E1^2)/суммкв(E2^2).

8. Создайте ряд для расчета критического значения F-статистики. Пусть это будет ряд F1. В строке формул введите

Fстат=Fраспобр(0,05;10-3-2;10-3-2).

(n/2–d/2–k, n/2–d/2–k)

N = 20, d=6, к=2

9.Сравните Fрасч и Fстат. Если Fрасчет<Fстат, то гипотеза о гетероскедастичности подтверждается, если Fрасч>Fстат, то отвергается. Сделайте соответствующие выводы.

Данные

В качестве задания можно предложить проверить наличие гетероскедастичности при предположении, что Н1 ее вызывает. То есть проделать аналогичную работу только для Н1.