Непосредственный подсчет вероятности события
1. Какова вероятность извлечь из колоды в 52 карты
а) фигуру любой масти (фигура – дама, валет или король);
б) карту пиковой масти;
в) фигуру любой масти или карту масти пик?
Ответ: а) 3/13; б) ¼; в) 11/26.
2. На складе имеется 15 ящиков ниток, причем 10 из них изготовлены на комбинате им.С.М.Кирова. Найти вероятность того, что из пяти наудачу взятых ящиков окажутся три, содержащих нитки прядильно-ниточного комбината им.С.М.Кирова.
Ответ: 400 / 1001.
3. Из колоды в 52 карты наудачу вынимаются три карты. Найти вероятность того, что среди них хотя бы один туз.
Ответ: 1201 / 5525.
4. Какова вероятность того, что из пяти карточек, на которых написаны буквы А, Г, И, К, и Н, расположенных в случайном порядке, сложится слово "КНИГА"?
Ответ: 1 / 120.
5. На карточках написаны цифры: 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9. Наудачу взяли 4 карточки и расположили их в порядке появления. Какова вероятность того, что
а) полученное число будет четным?
б) полученное число 1234?
Ответ: а) 4/9; б) 1/3024.
З А Д А Н И Е 2 (1 вариант)
Теоремы сложения и умножения вероятностей
6. Стрелок стреляет по мишени, которая состоит из круга и двух концентрических колец. Вероятность попадания в круг и кольца соответственно равны 0,2; 0,15; и 0,1. Определить вероятность попадания в мишень.
Ответ: 0,45.
7. В ящиках находятся катушки с нитками, причем в первом: 5 с белыми, 11 с черными и 8 с красными нитками. Во втором: 10 с белыми, 8 с черными и 6 с красными нитками. Из каждого ящика наудачу взяли по одной катушке. Какова вероятность того, что они одного цвета?
Ответ: 0,323.
8. Происходит воздушный бой между истребителем и бомбардировщиком. Стрельбу начинает истребитель и сбивает бомбардировщик с вероятностью Р1. Если бомбардировщик не сбит, то он стреляет и сбивает истребитель с вероятностью Р2. Если истребитель не сбит, то он стреляет и сбивает бомбардировщик с вероятностью Р3. После этого выстрела истребителя бой кончается.
События: А – во время боя сбит бомбардировщик:
В – во время боя сбит истребитель;
С – во время боя сбит хотя бы один самолет.
Найти вероятности событий А, В и С.
Ответ: Р(А) = Р1 – Р1Р3 – Р2Р3 + Р1Р2Р3 + Р3;
Р(В) = Р2 – Р1Р2;
Р(С) = Р1 + Р2 + Р3 – Р1Р2 – Р1Р3 – Р2Р3 + Р1Р2Р3.
9. 15 экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не повторяются. Студент выучил только 25 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на оба вопроса одного билета или на один любой из них и дополнительный вопрос.
Ответ: 0,936.
10. Вероятность выхода из строя элементов А и В соответственно равны 0,3 и
| 0,2. Найти вероятность того, что цепь разомкнута, если а) элементы не могут выйти из строя одновременно; б) возможен независимый друг от друга выход из строя элементов одновременно. |
Ответ: а) 0,5; б) 0,44.
З А Д А Н И Е 3 (1 вариант)
Формула полной вероятности и формула Байеса
11. В тире имеется пять ружей, вероятности попаданий из которых, соответственно, равны 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 и 0,9. Определить вероятность попадания, если ружье выбирается наудачу.
Ответ: 0,7.
12. По самолету производится три одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле 0,5, при втором – 0,6, при третьем – 0,8. Для выхода самолета из строя заведомо достаточно трех попаданий, а при одном попадании он выходит из строя с вероятностью 0,3, при двух попаданиях – с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет сбит.
Ответ: 0,594.
13. Со склада поступило 9 деталей, из два прошли ОТК. Вероятность того, что изделие, прошедшее ОТК, имеет первый сорт – 0,8, а для не прошедшего ОТК эта вероятность 0,1. Взятая наудачу деталь оказалась первого сорта. Какова вероятность того, что она прошла ОТК.
Ответ: 0,696.
14. Трое охотников одновременно выстрелили по вепрю, который убит одной пулей. Какова вероятность того, что вепрь убит первым, вторым или третьим охотников, если вероятности попадания для них равны соответственно 0,2; 0,4 и 0,6?
Ответ: 0,103; 0,276; 0,621.
15. В автобусе едут три пассажира. На следующей остановке каждый из них выходит с вероятностью 0,75. В автобусе с вероятностью 0,3 никто не входит и с вероятностью 0,7 входит один пассажир. Какова вероятностью того, что после остановки в автобусе будет три пассажира?
Ответ: 0,103.
З А Д А Н И Е 4
Повторение опытов
Локальная и интегральная теоремы Лапласа
16.Вероятность того, что лампа останется исправной после 1000 ч работы, равна 0,2. Какова вероятность того, что хотя бы одна из трех ламп после 1000 ч работы останется исправной?
Ответ: 0,488.
17.Вероятность возникновения опасной перегрузки в каждом из трех независимых опытов равна 0,4. Определить вероятность отказа прибора, если вероятность отказа при одной перегрузке 0,2, при двух – 0,5, а при трех – 0,8.
Ответ: 0,2816.
18.Вероятность появления события в каждом из 10 000 независимых испытаний равна 0,75. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклоняется от его вероятности по абсолютной величине не больше, чем на 0,01.
Ответ: 0,979.
19.Вероятность появления события при одном опыте равна 0,3. С какой вероятностью можно утверждать, что частота этого события при 100 опытах будет лежать в пределах от 0,2 до 0,4?
Ответ: 0,97.
20.В осветительную сеть включено 6 новых ламп. Каждая лампа перегорает в течение года с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что в течение года не менее половины первоначально включенных ламп потребуют замены новыми.
Ответ: 0,98.
З А Д А Н И Е 5